???2G??????D????0?0???0
??0??2G?0???2G00000000?00??00??G00?0G0??00G??0物理方程的另一种形式是
?????C????
?1其中?C?为柔度矩阵。?C???D?，它和弹性矩阵是互逆关系。
2.2 有限元原理
有限单元法（Finite Element Method，缩写为：FEM），也称为有限元法或有限元素法，是将所探讨的工程系统(Engineering System)转化为一个有限元系统(Finite Element System)，有限元系统由节点(node)及单元(element)组合而成，组合成的系统模型取代原有的工程系统。目前在工程领域内常用的数值模拟方法有：有限单元法、边界元法、离散单元法和有限差分法，但就其广泛性而言主要还是有限单元法。有限元法用于求解复杂的弹性力学和结构力学方程，对于这些问题它已经基本上代替了有限差分法。
有限元法在工程分析中的地位是不可替代的，它的基本思想是将求解区域离散为一组有限个、且按一定方式相互连接在一起的单元的组合体，单元之间通过节点相连，每个单元被看作是一个整体。单元内部任意位置的待求量只能够由单元节点上的求解值通过形函数插值得到。由于设定的单元形状简单，因此易于从平衡关系和能量关系建立节点量的方程式，通过求解所有这些单元方程组合成的一个总体代数平衡方程组，最终获得复杂模型的近似数值解。显然，单元越小结果也接近实际，但是同时计算量就大了，计算时间也长了，所以要根据具体情况划分合适的单元数。这是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法。有限元法主要是根据变分原理求解数学物理问题的数值计算方法，是工程方法和数学方法相结合的产物，可以求解许多过去用解析方法无法求解的问题，它对于解决复杂几何结构和边界问题更具优势，而且结果更接近真实情况。它能准确地反映计算对象的实际受力情况，在设计中节约材料，使结构更合理，确保部件（特别是高速运动部件）的安全性，是一
[15]
种先进的方法[16-23]。
有限元法步骤如下：
①连续体的离散化；也就是将给定的物理系统分割成等价的有限单元系统。
②选择位移模型；假设的位移函数或模型只是近似的表示了真实位移分布。通常假设位移函数为多项式，其中最简单的情况为线性多项式。我们所要做的是选择多项式的阶次，以使其在可以接受的计算时间内达到足够的精度。
③用变分原理推导单元刚度矩阵：刚度矩阵K、节点矢量f和节点位移矢量u的平衡关系表示为线性代数方程组：?ke??ue???fe???Ke??Ue???Fe? 局部坐标系下→整体坐标系下；
④整合整个离散化连续体的代数方程，即把各个单元的刚度矩阵集合成整个连续体的刚度矩阵，把各个单元的节点力矢量集合为总的力和载荷矢量：?K??U???F?
⑤施加位移约束；
⑥求解位移矢量；即求解上述代数方程，在求解的每一步都要修正刚度矩阵和载荷矢量。 ⑦由节点位移计算出单元的应变和应力。
在实际工作中，上述有限元分析只是在计算机软件处理中的步骤，要完成工程分析，还
开 始 决 定 分 析 项 目 决定分析项目的几何结构 及边界条件，获取材料性质 建立有限元模型包括单元类型、材料性质、有限元网格 加载并求解 输出结果 否 结果是否合理 是 问题解决或得到最佳设计 进行改进处理 图2.1 有限元分析流程图
需要更多的前处理和后处理，完整的有限元分析流程图如图2.1所示。
2.3 ANSYS软件简介
ANSYS作为大型通用有限元计算软件，是一个融结构、热、流体、电、磁、声学于一体的大型通用有限元软件。作为目前最流行的有限元软件之一，它具备功能强大、兼容性好、使用方便、计算速度快等优点，广泛用于核工业、铁道、石油化工、航天航空、机械制造、能源汽车交通、国防军工、电子、土木工程、生物医学、水利、日用家电等一般工业及科学领域。
2.3.1 ANSYS软件基本构架
ANSYS软件主要包括三个部分：前处理模块、分析计算模块和后处理模块。能够进行结构静力分析、结构动力学分析、结构非线性分析、运动学分析、热分析、电磁场分析、流体力学分析、声场分析、压电分析、多物理场耦合分析等[23]。
ANSYS构架分为两层，一层是起始层（begin level），二层是处理层（processor level）。当一个操作命令输入时，通过起始层过滤和分流，进入到处理层中不同的求解器。
求解器可视为解决问题步骤中的组合代码，执行特定的命令，解决问题的一个部分。包括前处理器、求解器、后处理器。ANSYS中的这三类求解器在分析使用流程如图2.2所示[23]。
在分析的不同阶段，需要进入不同的求解器进行操作。既可以通过菜单选项进入，也可以通过输入命令进入。例如，可以通过斜杠“/”加处理器的名称进入到相应的求解器，如/prep7进入前处理器，/solu进入求解器，而/post1命令则进入后处理器。
退出处理器，进行处理器之间的转换，可以通过finish命令或fini命令先回到起始层，然后进入想到达的求解器位置。
进入ANSYS 退出ANSYS 起始层begin level finish /prep7 /solu finish /post26 finish /post1 finish 前处理器prep7 processor 求解器solution processor 时间历程后处理器post26 processor 后处理器post1 processor 图2.2 ANSYS三类求解器使用流程图
2.3.2 ANSYS的典型分析过程
进行有限元分析的最终目的是要将一个实际工程系统的数学模型还原，也就是分析必须是针对一个物理原型的数学模型。模型包括所有的节点、单元、材料属性、实常数、边界条件，以及它用来表现这个物理系统的特性[24]。
ANSYS分析过程中包含以下3个主要的步骤。 ①创建有限元模型
1)创建或输入几何模型并进行布尔运算
ANSYS软件同很多CAD软件都有接口，可以在其他的CAD软件中建立好模型后通过这些接口导入ANSYS进行分析，这样就可以利用建模能力相对ANSYS较强的CAD软件建模，但是从CAD软件导入ANSYS的模型有时需要大量的修补工作才能进行网格划分。所以也可以直接在ANSYS软件环境中建模。
2)单元类型及材料属性的选择
在有限元分析中，单元类型选择正确与否将决定其最后的分析结果。ANSYS提供了120多种不同性质与类别的单元，每一个单元都有其固定的编号。如link180是第180号单元，通过每个单元前的名称就可以判断该单元的使用范围及形状。单元类别可以分为一维线性单元、二维平面单元和三维立体单元。不同的材料，不同的模型，就应该选择不同的单元类型和材料属性。
3)将不同材料属性的实体赋予不同的属性
4)选择合适的单元大小，划分网格(产生节点和单元) ②根据具体的受力和约束情况施加约束和载荷 ③求解并查看结果
2.4 ANSYS参数化设计语言APDL及ANSYS命令流
进行有限元分析的标准过程包括：定义模型及其载荷，求解和解释结果，假如求解结果表明要修改设计，那么就必须改变模型的几何形状并重复上述步骤；或者当结构状态改变，命令后的参数也会有所改变，因此必须重新编写程序，这对设计者而言相当不方便，特别当模型较复杂或修改较多时，这个过程就很复杂和费时，而且还不能保证修改的完全性[25]。
ANSYS参数化设计语言APDL(ANSYS Parametric Design Language)是一种解释性语言，它用建立智能分析的手段为用户提供了自动完成上述循环的功能，以更方便的方式进行程序编辑，也就是说程序的输入可设定为根据指定的函数、变量以及选出的分析标准作决定，可以帮助我们更加有效地进行分析计算，是一种高效的参数化建模手段，而且允许复杂的数据输
入，使用户实际上对任何设计或分析属性有控制权，例如尺寸、材料、载荷、约束位置和网格密度等[26]。
APDL实际上由类似FORTRAN77的程序设计语言部分和大量的ANSYS命令组成。它的程序设计语言部分与其它编程语言一样，具有参数、数组表达式、函数、宏以及流程控制（循环与分支）等。 例如： /PREP7
YS=2.1e5 ！设置杨氏弹性模量 Length=100 ！设置参数Length Width=10 ！设置参数Width Thick=1 ！设置参数Thick ET,1,SHELL63 ！定义单元类型
R,1,Thick,Thick,Thick,Thick,0,0, ！定义实常数 MP,EX,1,YS ！定义材料属性 MP,NUXY,1,0.3 ！定义泊松比
RECTNG,0,Length,0,Width， ！建立面
当模型或材料变化时，只要改变上述参数即可。
APDL是用来自动完成某些功能或建模的一种脚本语言。它也包含了一系列其他特征，如命令的复制、宏、if-then-else分支、do循环以及标量、矢量和矩阵的操作。其“参量”兼有其他程序设计语言中变量和参数两种意义，但是并不明确区分。APDL语言是ANSYS高级应用的基础，如优化设计、自适应网格等。但对一般用户来说，掌握了APDL也会使分析更为简单有效。随着用户对它越来越熟悉，它将会逐渐体会到其强大无比的功能。
APDL有下列功能： 参数 数组参数 分支和循环 重复功能和缩写 宏
这些功能可以根据需要单独或同时使用，尽管多数APDL语言可以从菜单方式获得，但是也有一些不能；且APDL作为一种脚本语言，用命令方式输入更为方便，要获得一个命令对应