n 或：??f?z?dz?2?i?Res[f(z),zk]（留数基本定理）
ck?1? 若被积函数不能表示成
f?z?n?1(z?zo)，则须改用第五章留数定理来计算。
（八）解析函数与调和函数的关系
???x221．调和函数的概念：若二元实函数?(x,y)在D内有二阶连续偏导数且满足????y22?0，
?(x,y)为D内的调和函数。 2．解析函数与调和函数的关系 ? ?
解析函数f?z??u?iv的实部u与虚部v都是调和函数，并称虚部v为实部u的共轭调和函数。 两个调和函数u与v构成的函数f(z)?u?iv不一定是解析函数；但是若u,v如果满足柯西— 黎曼方程，则u?iv一定是解析函数。
3．已知解析函数f?z?的实部或虚部，求解析函数f?z??u?iv的方法。 1）偏微分法：若已知实部u?u?x,y?，利用C?R条件，得
?v?v； ,?x?y对
?v?y??u?x两边积分，得v???xdy?g?x? （*）
?v?x????u?dy??g??x? （**） ???x??x????u?dy??g??x?，可求出 g?x?； ???x??x??u再对（*）式两边对x求偏导，得
由C?R条件，
?u?y???v?x，得
?u?y??代入（*）式，可求得 虚部v???xdy?g?x? 。
?v?xdx??v?ydy???u?ydx??u?x?u2）线积分法：若已知实部u?u?x,y?，利用C?R条件可得dv? dy，
故虚部为v????x,y?x0,y0???u?ydx??u?xdy?c；
由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中?x0,y0?与?x,y? 是解析区域中的两点。
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3）不定积分法：若已知实部u?u?x,y?，根据解析函数的导数公式和C?R条件得知，
f??z???u?x?v?y?u?x?u?y?i??i
将此式右端表示成z的函数U?z?，由于f??z?仍为解析函数，故
f?z???U?z?dz?c （c为实常数）
注：若已知虚部v也可用类似方法求出实部u. （九）复数项级数 1．复数列的极限
1）复数列{?n}?{an?ibn}（n?1,2?）收敛于复数??a?bi的充要条件为
liman?a,n??limbn?b （同时成立）
n??2）复数列{?n}收敛?实数列{an},{bn}同时收敛。 2．复数项级数
???1）复数项级数??n(?n?an?ibn)收敛的充要条件是级数?an与?bn同时收敛；
n?0n?0n?02）级数收敛的必要条件是lim?n?0。
n??注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。 （十）幂级数的敛散性
?n?1．幂级数的概念：表达式?cn(z?z0)或?cnzn为幂级数。
n?0n?02．幂级数的敛散性
?1）幂级数的收敛定理—阿贝尔定理(Abel)：如果幂级数?cnzn在z0?0处收敛，那么对满足
n?0z?z0的一切z，该级数绝对收敛；如果在z0处发散，那么对满足z?z0的一切z，级数必
发散。
2）幂级数的收敛域—圆域
幂级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散。
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3）收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径。
cn?1cn1? 比值法 如果limn?????0，则收敛半径R?1?；
? ?
根值法 limn??cn???0，则收敛半径R??；
如果??0，则R??；说明在整个复平面上处处收敛； 如果???，则R?0；说明仅在z?z0或z?0点收敛；
?注：若幂级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径。（如?cnz2n）
n?03．幂级数的性质
1）代数性质：设?anz,?bnzn的收敛半径分别为R1与R2，记R?min?R1,R2?，
nn?0n?0??则当z?R时，有
??nnn??(?an?0?n??bn)z???anz???bnz （线性运算）
n?0n?0?nn?(?anz)(?bnz)?n?0n?0?(an?0nb0?an?1b1???a0bn)z （乘积运算）
n?2）复合性质：设当??r时，f?????a?nn?0nn，当z?R时，??g?z?解析且g?z??r，
?则当z?R时，f[g?z?]??an?0n[g?z?]。
?3） 分析运算性质：设幂级数?anzn的收敛半径为R?0，则
n?0??
其和函数f?z???an?0nz是收敛圆内的解析函数；
n??
在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变；且f??z???nan?0?znn?1 z?R
?
在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变；?f?z?dz??0zann?1zn?1 z?R
n?0（十一）幂函数的泰勒展开
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1. 泰勒展开：设函数f?z?在圆域z?z0?R内解析，则在此圆域内f?z?可以展开成幂级数
?f?z???n?0f?n??z0?n!?z?z0?n；并且此展开式是唯一的。
注：若f?z?在z0解析，则f?z?在z0的泰勒展开式成立的圆域的收敛半径R?z0?a；
其中R为从z0到f?z?的距z0最近一个奇点a之间的距离。 2．常用函数在z0?0的泰勒展开式
?1）e?z?n?01n!?z?1?z?nz22!?z33!???znn!?? z??
2）
11?z??zn?0n2n?1?z?z???z?? z?1
?3）sinz??(2n?1)!zn?0?(?1)n2n?1?z?z33!z4?z55!???(?1)n(2n?1)!n2nz2n?1?? z??
4）cosz??n?0(?1)n(2n)!z2n?1?z22!?4!???(?1)(2n)!z?? z??
3．解析函数展开成泰勒级数的方法
1n!?n??1）直接法：直接求出cn?f?z0?，于是f?z???cn?z?z0?。
n?0n2）间接法：利用已知函数的泰勒展开式及幂级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数展开。
（十二）幂函数的洛朗展开
?n 1. 洛朗级数的概念：
?n???cn?z?z0?，含正幂项和负幂项。
2．洛朗展开定理：设函数f?z?在圆环域R1?z?z0?R2内处处解析，c为圆环域内绕z0的任意
?一条正向简单闭曲线，则在此在圆环域内，有f?z???n???cn?z?z0? ，且展开式唯一。
n3．解析函数的洛朗展开法：洛朗级数一般只能用间接法展开。
*4．利用洛朗级数求围线积分：设f?z?在r?z?z0?R内解析，c为r?z?z0?R内的任何一
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条正向简单闭曲线，则 ??f?z?dz?2?ic?1。其中c?1为f(z)在r?z?z0?R内洛朗展开式中
c1z?z0的系数。
说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中(z?z0)?1的系数。 （十三）孤立奇点的概念与分类
1。 孤立奇点的定义 ：f?z?在z0点不解析,但在z0的0?z?z0??内解析。 2。孤立奇点的类型：
1）可去奇点：展开式中不含z?z0的负幂项；f?z??c0?c1?z?z0??c2?z?z0??? 2）极点：展开式中含有限项z?z0的负幂项；
f2?z??c?m(z?z0)m?c?(m?1)(z?z0)m?1???c?1(z?z0)?c0?c1(z?z0)?c2(z?z0)???m?1m2g?z?(z?z0)m,
其中g?z??c?m?c?(m?1)(z?z0)???c?1(z?z0)且g?z0??0,m?1,c?m?0；
?c0(z?z0)??在z0解析，
3）本性奇点：展开式中含无穷多项z?z0的负幂项；
f?z????c?m(z?z0)m???c?1(z?z0)?c0?c1(z?z0)???cm(z?z0)??
m（十四）孤立奇点的判别方法 1．可去奇点：limf?z??c0常数；
z?z02．极点：limf?z???
z?z03．本性奇点：limf?z?不存在且不为?。
z?z04．零点与极点的关系
1）零点的概念：不恒为零的解析函数f?z?，如果能表示成f?z??(z?z0)??z?，
m其中??z?在z0解析，??z0??0,m为正整数，称z0为f?z?的m级零点； 2）零点级数判别的充要条件
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