由哈密顿原理推导拉格朗日方程
一、问题重述
已知哈密顿原理δ 求证拉格朗日方程
d
t2
Ldtt1?L
α
=0
?L
α
??q=0
dt?q二、问题分析及证明
已知L是q,q??,t 的函数，由哈密顿原理可知，并记住δt=0,即为
t2?Ls α=1 ti?qα
δqa+
?L?qα
δqα dt=0……(1)
?????????? ??????
其中
s??=1
??????
???????? ??
???? ??= s??=1
??
???? ??=
????=1
??
???????? ??
?????? ? s??=1
??
???????? ??
s
(
????
)??????……(2)
（2）代入（1）式得：
???????????????? ??????+ ?????? ? ()?????? ????=0
??q???????? ???????? ??????????
??=1
??=1
??=1
??2
= sα=1
?L?qα
s δqα|t2 t1+ α=1ti
t2?L?qα
?
d
dt?qα
(
?L
) δqαdt=0……(3)
2
因两端点相同，故??????|????1=0 （?=1,2，….s）
故(3)中的第一项为零，而（3）式简化为
t2ti
s
α=1
?Ld?L
?() δqαdt=0 ?qαdt?qα
因??????（?=1,2，….s）在积分范围内是任意的，故得
d
?L
?L
??q=0 （?=1,2,……s） dt?qα
α
即证得拉格朗日方程。
三、参考资料
分析力学，哈密顿原理