3.2.3 函数的模型及应用（3）
【自学目标】
1. 学会分析问题，思考问题，准确地选择解决问题的方法和模型； 2. 学会解决常见的函数应用问题，如图表问题、拟合函数问题； 3. 进以步培养分析问题、解决问题的能力. 【知识要点】 1.拟合模型 2.离散点问题
【预习自测】
例1.如右图所示，表示一位骑自行车者
和一位骑摩托者在相距为80km的 两城镇间旅行的函数图象，由图可 知：骑自行车者用6小时(含途中 休息的1小时)，骑摩托者用了2 小时，有人根据这个函数图象，突 出了关于这两个旅行者的如右信息：
(1) 骑自行车者比骑摩托者早出发3小时，晚到1小时；
08070605040自行车302010123456时间(h)摩托车距离(km)(2) 骑自行车者是变速运动，骑摩托者是匀速运动； (3) 骑摩托者在出发1.5小时后追上了骑自行车者 其中正确信息的序号是 例2.《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算：
全月应纳税所得额 不超过800元的部分 超过800元至2000元的部分 超过2000元至5000元的部分 ?? 税率 5％ 10％ 15％ ?? 某人一月份应交纳此项税款26.78远，则他的当月工资、薪金得介于（ ） A.800—900元 B.900—1200元 C.1200—1500元 D. 1500—2800元
例3.现测得?x,y?的两组值为?1,2?,?2,5?，现有两个拟合模型甲：y?x?1，乙：y?3x?1，
2若又测得?x,y?的一组对应值为?3,10.2?，则应选用 作为拟合模型较好
例4.某厂1月、2月、3月、生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这3个月的产量为依据，用一个函数来模拟该产品的月产量y与月份x的
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关系。模拟函数可选择二次函数或函数y?abx?c（a、b、c为常数），已知四月份该产品的产量为1.37万件，试问用以上哪个函数作模拟函数较好？
【课内练习】
1.今有一组实验数据如下：
t 1.99 1.5 3.0 4.04 4.0 7.5 5.1 12 6.12 18.01 V 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数满足的规律，其中最接近的一个是（ ）
t2?1A.V?log2t B. V?log1t C.V? D.V?2t?2
222.画出以下4个点：(15，7)，(50，25)，(60，34)，(100，80)，根据散点图，以下四种趋势，不应该选用（ ）
A.指数 B. 乘幂 C.二次函数 D.对数
3.设本金为a元，每期利率为r，本利和为为y，存期为x，按复利计算利息，则本利和y随存期x变化的函数式为
4.下图是一份统计图表，根据此图表可以得到的以下说法中，正确的有 （ ）
120 115生活费收入指数110105100生活价格指数
2000200120022003①这几年人民生活水平逐年得到提高； ②人民生活费收入增长最快的一年是2000年； ③生活价格指数上涨速度最快的一年是2001年；
④虽然2002年生活费收入增长较缓慢，但由于生活价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善
2
A.1项 B.2项 C.3项 D.4项 【归纳反思】
常见的函数模型的应用实例主要包括两个方面：建立确定性函数模型解决实际问题与建立拟合函数模型解决实际问题。 （1）确定性函数模型
这类应用题中提供的变量关系是确定的，求解时按下面的步骤：①认真审题，通过阅读理解，读懂题意，关键找出题目中的自变量与函数值所满足的等式；②赋于自变量与函数值符号，常用x，y表示，由已分析出的等式列出y关于x的函数关系式，这个函数关系中可能含有待定的系数，则需进一步由已知条件求出待定系数；③利用函数知识，如单调性、最值等，对函数模型予以解答；④转译为具体问题作答，简单的说即审题-建模-求模-还原。 （2）不确定性函数模型，或称拟合函数模型
这类应用题提供的变量关系是不确定的，只是给出两个变量的几组对应值，求解这类函数模型的一般步骤为：画散点图?选择函数模型?用待定系数法求函数模型?检验，若符合实际，可用此函数模型解决实际问题，若不符合实际，则继续选择函数模型，重复操作以上过程。另外，以上过程可以利用计算器或计算机进行数据拟合，在“添加趋势线”工具栏中，提供了线性、对数、指数、多项式等多种数学模型，可供择优选用。
常见函数模型可分为一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型，对数函数模型、幂函数模型、分段函数模型等。
【巩固提高】
1.一辆匀速行驶的汽车90min行驶的路程为180km，则这辆汽车行驶的路程y（km）与时间t（h）之间的函数关系式是（ ）
A.y=2t B.y=120t C.y=2t (t>=0) D.y=120t (t>=0) 2.用一根长为12m的细铁丝弯折成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是 .
3.某音像社对外出租光盘的收费方法是：每张光盘在租出后的前两天每天收0.8元，以后每天收0.5元.那么一张光盘在租出后的第n天（n?N元。
4.据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%，如果“十五”期间（2001年-2005年）每年我国国内生产总值按此年增长率增长，那么到“十五”末我国国内年生产总值约为（ ） A115000亿元 B120000亿元 C 127000亿元 D135000亿元 5.有一个空容器，由悬在它上方的一根水管均匀地 注水，直至把容器注满，在注水过程中，水面的高 度曲线如图29-1所示，其中PQ为一线段，则与图 相对应的容器的形状是（ ）
?）应收的租金是
y满PQ空Ox(时间)3
6.如下图，A、B、C、D是某煤矿的四个采煤点，l为公路，图中所示线段为道路，ABQP、BCRQ、CDSR近似于正方形，已知A、B、C、D四个采煤点每天的采煤量之比约为3：2：1：5，运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比，现要从P、Q、R、S中选出一处设立一个运煤中转站，使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少，则地点应选在（ ） (A) P (B) Q (C) R (D) S IPQRSABCD(A)(B)(C)(D)7.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价为5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示：
销售单价(元) 日均销售量(桶) 6 7 8 9 10 11 12 480 440 400 360 320 280 240 请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？
8.有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品能获得的利润依次是P和Q（万元），它们与投入资金x（万元）的关系，有经验公式：P?x3,Q?x，今有3万元资金投入经营甲、55乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少，能获得的最大利润是多少？
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9.某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y??g?与时间t(小时)之间近似满足右图所示曲线
y(1)写出服药后y与t的函数关系；
60110x
(2) 据测定：每毫升血液中含药量不少于4?g时治疗疾病有效，假如病人一天中第一次服药
为上午7：00，问一天中怎样安排服药时间(共四次)效果最佳？
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