22.（4）证明两个线性算符之和仍为线性算符
?B?B??1，若?为F??A?，A??B?A?的本征函数，相应的本征值为?，求证??A??和23.（4）设算符F?的本征函数，并求出相应的本征值。 ??也是F??A24.（4）试证明?(xyz)??2属于本征值2?2的本征函数。 x?y?z是角动量平方算符l?? ?x25.（4）试证明表象变换并不改变算符的本征值
?x,?(x)]??i?26.（4）证明对易关系 [p27.（4）证明在l?z的本征态下lx?ly?0
1l?l?1??m2?2 229.（4）证明谐振子的零点能E0?1??是测不准关系ΔxΔp??的直接结果。
2228.（4）设粒子处于Ylm??,??状态下，证明??Lx???Ly2??2???30.（4） 一维体系的哈密顿算符具有分立谱，证明该体系的动量在能量本征态中的平均值等于零
31.（4）如果厄米算符A对任何矢量|u>，有 为厄米正定算符 ?(1,2)，波函数为?(1,2)，试证明交换算符P?是个守恒量 32.（5）设全同二粒子的哈密顿量为H1233.（5）证明在定态下，任意不显含时间t力学量A取值几率分布不随时间改变。 34.（5）设力学量A是守恒量，证明在任意态下A的取值概率分布不随时间改变。 35.（5）证明：量子体系的守恒量，无论在什么态下，平均值不随时间改变。 36.（5）试证在一维势场V(x)中运动的粒子所受势壁的作用力在束缚定态中的平均值为0（提示：利 ?,x]??用对易关系[Hi???x） p?与H?，厄米算符A?对易。试证明d?A?0，其中?A是A的均方根偏37.（5）设系统的哈密顿量为Hdt差，即?A??(A??A?)2?1/2，式中尖括号表示求平均值。 ?的本征值必有简并。 ?,H?,B?]?[B?,H?]?0，但[A?]?0，试证明H38.（5）如果[A39.（5）粒子在对数函数型势场中运动，V(r)?Cln(r/r0)，其中常数C?0,r0?0。试利用Virial 定理证明：各束缚态的动能平均值相等。 *??(x,t)dx证明力学量平均值随时间的变化为40.（5）试根据力学量平均值表达式F??(x,t)F??1dF?F?为体系的哈密顿 ?,H?]，其中H??[Fdt?ti?41.（4、5） 证明：宇称算符的本征函数非奇即偶 ??,|x|?b?42.（5）设粒子处在对称的双方势阱中V(x)??0a?|x|?b ?V|x|?a?0 （1）在V0??情况下求粒子能级，并证明能级是双重简并； （2）证明V0取有限值情况下，简并将消失。 43.（5、6）证明在氢原子的任何定态?nlm(r,?,?)中，动能的平均值等于该定态能量的负值，即 ?2/2??nlm??En ?p2?2???L2???44.（6）已知中心力场中运动的粒子哈密顿表示为H(r)??V(r)，证明中心22?r2?r2?r?r力场中运动的粒子角动量守恒 45.（8）证明Pauli算符各个分量的反对易关系 ?取值?/2或??/2的概率各为1/2。 ?的本征态。试证在此态中，S46.（8）若电子处于Syz??i?/2??cose??1??247. （8）设有两个电子，自旋态分别为????,???证明两个电子处于自旋单态（S=0）?。?0??i?/2?????sine?2??112?2???(1?cos),??(1?cos) 和三重态（S=1）的几率分别为ab222248.（10）在一定边界条件下利用定态薛定谔方程求解体系能量本征值与变分原理等价。 1?4?i?49.（12）已知在分波法中f(?)??(2l?1)elsin?lPl(cos?) ?kl?0k据此证明光学定理。 四、计算题： 1.（2）设一维自由粒子的初态为?(x,0)?eik0x?l?0? 2l?1ei?lsin?lYl0(?)， ，求?(x,t)。 ??0;x??0,a?Vx?2.（3）质量为m的粒子在一维无限深方势阱中运动，势阱可表示为??? ?;x?0,x?a??（1）求解能量本征值En和归一化的本征函数?n(x)； （2）若已知t?0时，该粒子状态为??x,0??1 ??1(x)??2(x)?，求t时刻该粒子的波函数； 2（3）求t时刻测量到粒子的能量分别为E1和E2的几率是多少？ （4）求t时刻粒子的平均能量E和平均位置x。 3. （3）粒子在一维?势阱中运动V(x)??a?(x)波函数。 (a?0),求粒子的束缚定态能级与相应的归一化 4. （3）设有质量为m的粒子（能量E?0）从左入射，碰到?势垒V(x)???(x)试推导出?势中?'的跃变条件。 5. （3）质量为m的粒子，在位势 (常数??0)， V(x)???(x)?V?x?0x?0(??0) 中运动，其中 0V??{V0a. b. V0?0试给出存在束缚态的条件，并给出其能量本征值和相应的本征函数； 给出粒子处于x>0区域中的几率。它是大于1/2，还是小于1/2，为什么？ ??, 6. （3）一个质量为m的粒子在一维势场 V(x)?????(x)?0??|x|?a，求波函数满足的方程及连续性 |x|?a条件，并给出奇宇称能量本征波函数及相应的本征能量。 7. （3）质量为m的粒子在一维势场 V(x)??|x|?a 中运动。求 |x|?a①粒子的定态能量En与归一化的波函数?n(x)； ②粒子在态?n(x)上的位置平均值x。 8. （3）如图所示，一电量为?q质量为m的带电粒子处在电量为?Q固定点电荷的强电场中，并被约束在一直线AB上运动，?Q到AB的距离为a，由于?Q产生的电场很强，?q只能在平衡位置O附近振动，即a远大于粒子的运动范围，设平衡位置O为能量参考点，试求体系可能的低能态能级。 9.（3）一电量为?q质量为m的带电粒子处在强度为E的均匀强电场 中，并被约束在一半径为R的圆弧上运动，电场方向如图所示，由于电场很强，?q只能在平衡位置O附近振动，即R远大于粒子的运动范围，设平衡位置O为能量参考点，试求体系可能的低能态能级。 10. (3) 一维谐振子处于基态?0(x)?AOa?-qB++Q?ROE??2?e?122x，求谐振子的 -q1）平均值x2；2）平均值p2；3）动量的几率分布函数。 ?（提示：①xne?Kxdx??0212?(n?1)2,K?0,?函数满足递推关系： n?12K1?(z?1)?z?(z),?(1)?1,?()?2???②?e??22?； x?2i?xdx??e???2?2）。 11.（3）把传导电子限制在金属内部的是金属内势的一种平均势， 对于下列一维模型（如图） MetalAV(x)?V,x?0 V(x)?{00,x?0试就（1）E?0，（2）?V0Vacuumx?E?0两种情况计算 -V0BC接近金属表面的传导电子的反射和透射几率。 12.（3、4）设t?0时，质量为m、频率为?的谐振子处于 ?(x,c)?Ae1??2x22[(cos?)H0(?x)?1/2sin?H2(?x)] 22?m?? 状态，其中A,?是实常数，???????（1） 求归一化常数A； （2） 求t时刻体系的状态?(x,t)； （3） 求t时刻位置的平均值x(t)； （4） 求谐振子能量取值及相应几率 ,Hn(?x)是厄米多项式。 13.（3）设一维粒子由x???处以平面波?in?eikx入射，在原点处受到势能V(x)?V0?(x)的作用。 （1）写出波函数的一般表达式；（2）确定粒子在原点处满足的边界条件；（3）求出该粒子的透 射系数和反射系数；（4）分别指出V0?0与V0?0时的量子力学效应。 14. （3、4、5）设一维线性谐振子处于基态 ?x? （1）求?x?,?p （2）写出本征能量E，并说明它反映微观粒子的什么性质 22???x??x???x? （3）利用位力定理证明：?x?px??/2，其中 ? 22?x???p?x????px??p?1?n?1n??n?1??n?1?15. （4）设一维谐振子能量本征函数为?n。试利用递推公式x?n???求谐??22?振子坐标在能量表象中的矩阵表示 16.（4、5）一维谐振子t?0时处于基态?0和第一激发态?1的叠加态 ?(x,0)?1??2x2212(?0(x)??1(x)) 其中?0(x)?N0e，?1(x)?N1e1??2x222?x （1）求t时刻位置和动量的平均值?x?t,?p?t； （2）证明对于一维谐振子的任何状态，t时刻位置和动量的平均值有关系； d1?x?t??p?t； dtm （3）求t时刻能量的平均值?H?t 17.（4）设体系处于??c1Y10?c2Y21状态（已归一化，即|c1|2?|c2|2?1）。求 ①l?z的可能测值及平均值； ?的可能测值及相应的几率。 ②l2 18．（4）设一量子体系处于用波函数?(??)?1(ei?sin??cos?)所描述的量子态中。试求4??的可能测值和各个值出现的几率；?的平均值 （1）在该态下l（2）lzz19.（6）t?0时氢原子的波函数为?(r,0)?跃迁。 （1）写出系统能量、角动量平方L及角动量z分量Lz的可能测值（表示成基本物理的函数即 可）； （2）上述物理量的可能测值出现的几率和期望值； （3）写出t时刻的波函数。 20.（6）求势场V(r)?2 110[2?100??210?2?211?3?21?1]。忽略自旋和 AB?中的粒子的能级和定态波函数（A,B>0） 2rr? 21.（7、8）设有一个定域电子，受到沿x方向均匀磁场B的作用，Hamiltonian量（不考虑轨道运动）