解： （1）证明：∵AB是⊙O的切直径， ∴∠ADB=90°， 又∵∠BAD=∠BED，∠BED=∠DBC， ∴∠BAD=∠DBC， ∴∠BAD+∠ABD=∠DBC+ABD=90°， ∴∠ABC=90°， ∴BC是⊙O的切线； （2）解：∵∠BAD=∠DBC，∠C=∠C， ∴△ABC∽△BDC， ∴=，即BC=AC?CD=（AD+CD）?CD=10， 2∴BC=． 18，如图，点P在O的直径BA的延长线上，AB＝2PA，PC切O于点C，连结BC。 （1）求?P的正弦值；
（2）若O的半径r＝2cm，求BC的长度。 解：（1）连结OC，因为PC切O于点C，?PC?OC C又直径AB＝2PA?OC?AO?AP?1 ?sin?P?.2（或：在Rt?POC,sin?P?1PO,??P?30?,2 PAOCOC1??） PO2PO2COB(2)连结AC，由AB是直??ACB?90?,?COA?90??P30??60?, AOB又OC?OA,??CAO是正三角形。?CA?r?2,?CB?4?2?2342 19，如图，AB是O的切线，A为切点，AC是O的弦，过O作OH?AC于点H．若OH?2，
AB?12，BO?13．
求：（1）O的半径； （2）sin∠OAC的值；
（3）弦AC的长（结果保留两个有效数字）．
解：（1）
B
O C H A 16
AB是O的切线，??OAB?90，
?AO2?OB2?AB2，?OA?5．
（2）（3）
OH⊥AC，??OHA?90，?sin?OAC?OH2?． OA5OH?AC，?AH2?AO2?OH2，AH?CH，?AH2?25?4?21，
?AH?21，?AC?2AH?221≈9.2．
20、如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC＝120°，四边
形ABCD的周长为10。 (1)求此圆的半径；
(2)求图中阴影部分的面积。
21、如图，A是以BC为直径的O上一点，AD?BC于点D，过点B作O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连结CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．
（1）求证：BF?EF； E （2）求证：PA是O的切线；
A （3）若FG?BF，且O的半径长为32，求BDF 和FG的长度．
∵BC是O的直径，BE是O的切线，（1）证明： P ∴EB?BC．
又∵AD?BC，∴AD∥BE．
易证△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC．
G B D O C
∴BFCFEFCFBFEF?，??．∴． DGCGAGCGDGAG∵G是AD的中点，∴DG?AG．∴BF?EF． （2）证明：连结AO，AB．
∵BC是O的直径，∴?BAC?90°．
P 在Rt△BAE中，由（1），知F是斜边BE的中点， ∴AF?FB?EF．∴?FBA??FAB．
E A F G B Ｈ C
D O 17
又∵OA?OB，∴?ABO??BAO． ∵BE是O的切线，∴?EBO?90°．
∵?EBO??FBA??ABO??FAB??BAO??FAO?90°，∴PA是O的切线． （3）解：过点F作FH?AD于点H．∵BD?AD，FH?AD，∴FH∥BC． 由（1），知?FBA??BAF，∴BF?AF．
由已知，有BF?FG，∴AF?FG，即△AFG是等腰三角形．
∵FH?AD，∴AH?GH．∵DG?AG，∴DG?2HG，即HG1DG?2．
∵FH∥BD，BF∥AD，?FBD?90°， ∴四边形BDHF是矩形，BD?FH． ∵FH∥BC，易证△HFG∽△DCG． ∴FHCD?FGCG?HGBDDG，即CD?FGCG?HG1DG?2． ∵O的半径长为32，∴BC?62．
∴BDCD?BDBC?BD?BD62?BD?12．解得BD?22．∴BD?FH?22． ∵FGCG?HGDG?12，∴FG?12CG．∴CF?3FG． 在Rt△FBC中，∵CF?3FG，BF?FG，由勾股定理，得CF2?BF2?BC2．
∴(3FG)2?FG2?(62)2．解得FG?3（负值舍去）
．∴FG?3． ［或取CG的中点H，连结DH，则CG?2HG．易证△AFC≌△DHC，
∴FG?HG，故CG?2FG，CF?3FG． 由GD∥FB，易知△CDG∽△CBF，∴CDCB?CGCF?2FG23FG?3． 由62?BD62?23，解得BD?22． 又在Rt△CFB中，由勾股定理，得(3FG)2?FG2?(62)2，∴FG?3（舍去负值）．］
18