磁共振成像
磁共振成像是一种常见医疗影像技术，用于各种任务例如脑显像／血管造影法和动态心电图中。传统方法中（本质上基于香农采样原理），临床环境时，产生高分辨率图像的测量时间可能会是不定的（取决于任务分成几分钟至几小时）。例如，心脏病患者不能期望太长时间屏住呼吸，孩子保持坐姿两分钟的耐心都没有。在这样的情况下，使用压缩传感基于小样本获得高分辨率显得很有前景。
MRI依靠强磁场与体内水分子含的氢核（质子）相互作用。一个标准磁场导致磁矩中的自旋质子极化。运用一个附加射频激发场产生一个稳定场的进动横磁化。其进动频率和磁场强度线性相关。通过传感器可以检测到产生的电磁场。
使用空间独立强度加强磁场，进动频率也与空间位置有关。依据横磁化取决于组织的物理性质 （例如，质子密度）这一事实，某物体图像可通过测量的信号进行重建。
使用数学术语，我们通过公式:
X(z)?X(z)e?i??z?，其中
X(z)??z?表示强度，
表示相，发现横磁化在z?R3。额外可能的与时间相关的磁场被设计成与位置线性相关，因此被叫做梯度场。以G?R表示的梯度场，进动频率（R3的位置函数）可以被写成
B表示稳定场强度 磁化相
是一个物理常量。伴随着相关时间梯度G：
，
3用积分式
表示。
t = 0与射频激发时间一致。我们引入函数k：
接受线圈使整个空间体积结合在一起，也测量了信号
定义为
表示磁化级数|X|的三维傅里叶变换。也可以利用三维傅里叶变
换代替二维傅里叶变换测量物体的一个切面。
综上所述，使用MRI系统的信号测量是指磁化空间级数|X|（影像）的傅里叶转换，对曲线
二次抽样。通过使用修正因数重复一些
无线电频率，可循着有关R3的一些曲线k1, . . . , kL获得傅里叶装换的样本。需求测量时间和这些曲线的数目L成比例，我们希望这些数目L最小化。
自然离散化用简单三维像素或像素表示每个元素或二维图像的部分区域元素，所以磁化级数|X|变为一个有限维向量x?R 。索引于：Q := [N1] × [N2] × [N3]、N = card(Q) = N1N2N3和[Ni]:= {1， . . .， Ni}. 离散化曲线k1， . . . ， kL后，测量数据也成为X三维傅里叶离散变换的信号，即
N
令K ? Q其中card(K) = m表示离散频率间隔Q的子集，被k1, . . . , kL的轨线覆盖。
然后测量数据向量Y使之与
性映射，其限制Q的一个指数向量对应K中它的指数。测量矩阵
是一个傅里叶子矩阵。用语言表达为向量Y收集了设置在K
中分散影像X的三维傅里叶变换信号。
在具体医学成像应用如血管造影法中，假设关于典范基图像稀疏是可实现的。所以我们立刻得到了一个标准压缩感知问题。一般方案中，离散图像X只有在利用微波转换成适合的域后才稀疏或可压缩。例如，用数学表达，对单位矩阵
和一些稀疏向量
，存在
，可建立模型 相符。
为线
图1.6传统MRI重建（左）和压缩感知重建（右）比较。图像显示了伴随着造影剂的注射时，一个3岁儿科病人的腹部冠状切面。图像尺寸设置为三维像素320
× 256 × 160。使用32频儿科用线圈获得数据。在频畴内利用7.2因数二次抽样可加快数据获得。左边图像是具有严重伪影的传统线性重组。右边图像是一个基于小波变换的压缩，压缩感知重组凸显了诊断质量和显著降低伪影。箭头指示的细微特征很好的展现了压缩感知重组，重影几乎在左图中消失。
使用测量转换矩阵
再次，我们获得标准压缩感知问题。
问题是确定少量但确保稀疏影像还原的优质抽样集K。目前可用的理论预测是在任意基数m的运行良好的可能子集中一致选取随机抽样集K。（至少当W是单位矩阵时）。实际上，12章的结果证明当m ≥ Cs lnN时，某S-稀疏被
-minnimization重建。
不幸的是，考虑到轨迹曲线k1, . . . , kL的连续性约束，这样的任意集K在实践中难以实现。因此，人们通过经验研究可行的集K。把轨迹看成R3的平行线是一种较好应用的方法，在它与坐标平面交集上均匀随机选择。在K完全随机
可
和一个稀疏或压缩向量。
处情况下在上述方法中选取一些近似值。其他选择如扰动螺旋也有可能。
图1.6对比了传统MRI重组技术和压缩感知重组技术。压缩感知重组具有更好的视觉质量。解决了一些医疗上的重要细节问题。这些细节问题在传统重建中是完全不可见的。
雷达
压缩感知可适用于一些雷达结构。这里展示一种天线散发出一种合理设计的电磁波-雷达脉冲-这种电磁波分散在周围环境中，例如，空中的飞机。一种接收天线接着从分散的波中测量一种电磁信号。基于接收信号的延迟过程，可以判断物体的距离，同时多普勒效应可通过视图方向推断出它的速度。
以图1.7为例，让我们为这个方案的简单有限维模型进行描述。我们以
表示表示
被称为频道，可表示为B?的调制。
向量X=（xk，l）表示信道。如果有一个散射物体存在环境中使位移和速度与转化Tk和调制Ml一致，则会出现非零项xk，l 。目前通常只存在有限数量的散射物体，这些散射物体转化成系数向量X的稀疏度。现在的任务是确定X和在环境中通过使用一个合适的电波探索波道的方法获得有关散射体，在有限维设置中用
k,lk2(k,l)??m?的循环平移算子，以
的调制算子。图谱转化发送信号至接收信号也
?xTMi，其间发生了转化一致的延迟和多普勒效应
向量制作电波。接收信号由Y给出。
图1.8 上左：转化-调制（延迟-多普勒）平面原始7级稀疏系数向量（m=59） 上右：使用最顶级窗口
最小化重建。底：
最小化重建比较。
测量矩阵测量信号Y还原
的m2纵列和
相等。从
意味着解决一个欠定线性方程组。考虑X的稀疏度，
最小化的应用。
我们将得到一个标准压缩感知问题。联合重建算法，包括
它也需要找到合适的射频脉冲数列
确保X可以从y = Bg还原出来。
一种g的通俗选择叫做全顶级向量，它规定m≥ 5时，