第四章 流动阻力和水头损失
例1:
在圆管层流中，沿壁面的切应力τ
0与管径
d、流速 V 及粘性系数 μ 有关，用
量纲分析法导出此关系的一般表达式。
解：n＝4，应用雷利法，假设变量之间可能的关系为一简单的指数方程：
?0?kdxVy?z （k为实验系数）
?1?2x?1y?1?1z按MLT写出因次式为：[MLT]?[L][LT][MLT]
对因次式的指数求解 对于M： 1＝z L：－1＝x＋y－z T：－2＝－y－z 所以 x＝－1，y＝1，z＝1 代入函数式得：
V?V??0?8d （实验已证实：d）
?0?K例2:
?p已知液体在管路中流动，压力坡度L，与下列因素有关：ρ，V，D，μ，Δ。
试用因次分析方法确定变量间的函数关系式，并得出计算hf的公式
?p?f?D,?,?,V,??解：（1）L
??p??2?2?[MLT]?3?L???D?[L]????[ML]； ??；；
????[ML?1T?1]；?V??[LT?1]；????[L]
（2）选ρ， V， D为基本的物理量 （3）建立3个无因次π项
?1???aVbDc11221?2???aVbDc?3?对于Π1项：
2?pa3b3c3?VDL [M0L0T0]?[ML?1T?1][ML?3]a1[LT?1]b1[L]c1
对于 M： 0＝1+a1
L： 0＝－1－3a1+b1+c1 T： 0＝－1－b1
所以 a1＝－1， b1 ＝－1， c1 ＝－1
?VD 对于Π2项：
[M0L0T0]?[L][ML?3]a2[LT?1]b2[L]c2
对于 M：0＝a2
L： 0＝1－3a2+b2+c2 T： 0＝－b2
所以 a2＝0， b2 ＝0， c2 ＝－1
?D 对于Π3项：
?1???2?[M0L0T0]?[ML?2T?2][ML?3]a3[LT?1]b3[L]c3
对于 M：0＝1+a3
L： 0＝－2－3a3+b3+c3 T： 0＝－2－b3
所以 a3＝－1， b3 ＝－2， c3＝1
?pDL?V2 ?3??????pD?1??????,???,???VDD?2L?V?ReD? ??（4）所以，2?p?1???V???,?L?ReD?D 22?pL?1???VL?1??LVhf????,??2??,?L?ReDD????ReD?D2g ?1????2??,??ReD?，则 令LV2hf??D2g——达西公式
λ——沿程阻力系数
例3
油泵抽贮油池中的石油，为保证不发生漩涡及吸入空气，必须用实验方法确定最小油位h，已知原型设备中吸入管直径dn=250mm，νn=0.75×10-4m2/s，Qn=140L/s，实验在1：5的模型中进行，试确定
(1) 模型中γm=？， Qm=？，Vm=？
(2) 若模型中出现漩涡的最小液柱高度hm=60mm，求hn=？ 分析：重力、惯性力、粘性力，特征长度为d 解：Ren = Rem ，Frn?Frm
??Vn?dnVm?dm?(1)???n?m?gn?dn?gm?dm?(2)?V22nVm
3Vn140?10?n?Q1??2.85m/s?d21n?3.14?0.25244 dm?1gn=gm，dn5
Vm＝1.27m/s，代入（1）得 ν
m=0.068×10
-4
m2/s
Q1m?Vm4?d2m?2.5L/s
hn= hm?5＝300mm 例4
流速由V1变为V3的突然扩大管，为了减小阻力，可分两次扩大，问中间级取多大时，所产生的局部阻力最小？比一次扩大的阻力小多少？
解：① 求V2
?V21?V3?一次扩大的：
hj1?2g
h?V21?V2??V2?V3?2两次扩大的：
j2?2g?2g
当V1、V3确定时，产生的最小阻力的值V2由下式求出：
dhj2dV?122g??2?V1?V2??2?V2?V3???0?VV1?V32?2
V2②
hj2V?V3???V1?V3??V3??V1?1???V1?V3?22?2??????2g2g4g hj2?12 即分两次扩大最多可减少一半损失。
22所以，hj1
例5
如图所示，水在压强作用下从密封的下水箱沿竖直管道流入上水箱中，已知h＝50cm，H＝3m，管道直径D＝25mm，λ＝0.02，各局部阻力系数分别为ζ1＝0.5，ζ2＝5.0，ζ定流动）
解：以下水箱液面为基准面，列两液面的伯努利方程：
0?p03
＝1.0，管中流速V＝1m/s，求：下水箱的液面压强。（设稳
??0??H?h??0?0?hw
LV23?0.512hf???0.02???0.143mD2g0.0252g沿程水头损失： 12hj???1??2??3???1.0?5.0?0.5???0.332m2g2g局部水头损失： 总水头损失：hw＝hf+hj＝0.475m
V2Pa 所以，p0????H?h??hw??9800??3?0.5?0.475??38955
例6
水箱中的水通过直径为d，长度为l，沿程阻力系数为λ的立管向大气中泄水，
问h多大时，流量Q的计算式与h无关？ 解：取1－1、2－2断面列伯努利方程：
V2h?l??hf
2glV2hf??
d2gV?2g?h?l??l1??d2gd?d?h?l?
?ld?2gQ??4d2V??4dd2??d?h?l?
?l?所以，当h?
?时，Q与h、l无关。