4.2 PID控制算法
在PID控制器的软件设计中，单片机要处理的数据需要相应的功能子程序来执行，在本论文中，控制的基础理论为PID控制理论，下面简单介绍最常应用的PID控制算法。
4.2.1常规PID控制
在模拟控制系统中，控制器最常用的控制理论是PID控制。PID控制规律的 基本输入输出关系可用微分方程表示为：
（4.1）
式中，KP为比例系数； Ti为积分时间常数； TD为微分时间常数；
e(t)为控制系统的偏差信号，e(t)=r(t)-y(t)。 此外，控制规律还可写成传递函数的形式：
（4.2）
图中KP、KI和KD分别为比例、积分和微分系数，由式（4.2）可知，KI=KP/TI，KD=KPTD 。
传统的PID控制系统原理框图如图所示，系统由PID控制器和被控对像组成。
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图4.5 传统的模拟PID控制系统原理框图 这三种基本控制环节各具特点：
(1) P比例控制：成比例的反映控制系统的误差信号，偏差一旦产生，控制器立即产生控制作用，以减小偏差。比例控制器在信号变换时，只改变信号的幅值而不改变信号的相位，采用比例控制可以提高系统的开环增益，是系统的主要控制部分。需要注意的是，过大的比例系数会使系统产生比较大的超调，并产生振荡，使稳定性变坏。
(2) I积分控制：积分控制主要用于消除静差，提高系统的无差度，但是会使系统的震荡加剧，超调增大，损害动态性能，一般不单独作用，而是与PD 控制相结合。积分作用的强弱取决于积分时间常数TI，时间常数越大，积分作用就越弱，反之则越强。
(3) D微分控制：反映误差信号的变化趋势（变化速率），并能在误差信号变得太大之前，在系统中引入一个有效的早期修下信号，从而加快系统的运作速度，减少调节时间。微分控制可以预测系统的变化，增大系统的阻尼ξ，提高相角裕度，起到改善系统动态性能的作用，但是微分对干扰有很大的放大作用，过大的
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微分会使系统震荡加剧，降低系统信噪比。
为了实现控制目的和达到控制指标，需要选择适宜的控制算法。常用的控制方法有反馈控制、顺馈控制、P 控制、PD 控制、PI 控制、PID 控制等，其中PID控制是应用最为广泛的控制方法之一。PID的复合控制，可以综合这几种控制规律的各自特点，使系统同时获得很好的动态和稳态性能
4.2.2数字式PID控制
随着计算机技术和电子设备的发展，控制技术已经从模拟控制逐步转变成数字控制。使得控制速度和精度都得到了大大的提高。数字PID就是对上面讲述的模拟PID控制的离散化，通常数字PID控制分为位置式PID控制算法和增量式PID控制算法。
在数字控制器中，控制量是通过采样方式，根据采样时刻的偏差值计算控制量，故对式(4.1)中的积分和微分项不能直接使用，需要对其进行离散化处理。按模拟PID控制算法的算式(4.1)，现以一系列的采样时刻点kT代表连续时间t，以和式代替积分，以增量代替微分，则可以作如下的近似变换:
(4.3)
式中，T--采样周期。
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在离散化过程中，采样周期T的取值必须满足采样定理，即采样周期T必须小于信号频率的一半。只有满足这个条件才能准确的反映信号的特点。同时为了书写方便和便于理解，将e(kT)简化表示成e(k)。然后再将式(4.2)代入式(4.1)，可以得到离散的PID表达式为: 或
式中，k--采样序号，k= 0,1,2,...;
u(k)--第k次采样时刻的被控对象输出值，即反馈量；e(k)--第k次采样时刻输入的偏差值； e(k-1)--第(k-1)次采样时刻输入的偏差值； Ki—积分系数， Ki=Kp*T/Ti Kd—微分系数，Kd=Kp*Td/T 由z变换的性质。
得到式(4.5)的z变换式为:
从而可以得到数字PID控制器的Z传递函数为:
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我们常称式(4.4)或式(4.5)为位置式PID控制算法。
对于位置式PID控制算法来说，由于是全量输出，所以每次输出均与过去的状态有关，计算时要对误差进行累加，所以运算工作量大。而且如果执行器一一计算机出现故障，则会引起执行机构位置的大幅度变化，而这种情况是生产场合不允许的，因而产生了增量式PID控制算法。
所谓增量式PID是指数字控制器的输出只是控制量的增量Δu(k)。当执行机构需要的是控制量的增量时，可以由式(4.5)导出提供增量的PID控制算式。根据递推原理可得:
用式(4.5)减去式(4.8)，可得
(4.9)
式中：
式(4.9)称为增量式PID控制算法。
增量式控制与位置式控制相比，虽然只是算法上作了一些改进，却带来了不少优点:
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