y=2x2+2y=2x2y=3(x+4)2y=3x2y=3(x-2)2y=2x2-4y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)2
十一、函数的应用
y=2x2y=2(x-4)2?刹车距离?二次函数应用?何时获得最大利润
?最大面积是多少?
二次函数考查重点与常见题型
1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如： 已知以x为自变量的二次函数值是
2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直
则m的y?(m?2)x2?m2?m?2的图像经过原点，
y=2(x-4)2-3角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：
如图，如果函数
y?kx?b的图像在第一、二、三象限内，那么函数y?kx2?bx?1的图像大致是（ ）
y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D 3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x?5，求这条抛物线的解析式。 34． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如： 32已知抛物线y?ax?bx?c（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－ 2
（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。 【例题经典】
由抛物线的位置确定系数的符号
6
c例1 （1）二次函数y?ax?bx?c的图像如图1，则点M(b,)在（ ）
a2 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2）已知二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，?则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2
(1) (2)
【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键．
例2.已知二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1
会用待定系数法求二次函数解析式
例3.已知：关于x的一元二次方程ax+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为( ) A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D．(3，2) 答案：C
例4、（2006年烟台市）如图（单位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合．设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym． （1）写出y与x的关系式；
（2）当x=2，3.5时，y分别是多少？
（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时， 三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、 对称轴.
2
2
2
2
例5、已知抛物线y=
1252
x+x-2
．
（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．
（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．
【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系． 例6.已知：二次函数y=ax-(b+1)x-3a的图象经过点P(4，10)，交x轴于A(x1,0)，B(x2,0)两点(x12
?x2)，交y轴负半轴于C点，
且满足3AO=OB．
(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点M，使锐角∠MCO>∠ACO?若存在，请你求出M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由．
(1)解：如图∵抛物线交x轴于点A(x1，0)，B(x2，O)， 则x1·x2=3<0，又∵x1 ∴x2>O，x1 ∴点A(-1，O)，P(4，10)代入解析式得解得a=2 b=3 ∴．二次函数的解析式为y-2x-4x-6． (2)存在点M使∠MC0<∠ACO． (2)解：点A关于y轴的对称点A’(1，O)， ∴直线A，C解析式为y=6x-6直线A'C与抛物线交点为(0，-6)，(5，24)． 7 2 2 2 ∴符合题意的x的范围为-1 当点M的横坐标满足-1 y?12x?bx?c的图象经过点A（c，－2）， 2 求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。 （1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。 （2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。 点评： 对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A（c，－2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。 [解答] （1）根据 y?12x?bx?c的图象经过点2A（c，－2），图象的对称轴是x=3，得 ?12?2c?bc?c??2,? ?b??3,?1?2?2?解得??b??3, ?c?2.所以所求二次函数解析式为（2）在解析式中令y=0，得 y?12x?3x?2.图象如图所示。 212x?3x?2?0，解得x1?3?5,x2?3?5. 2所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是（3+令x=3代入解析式，得所以抛物线 5,0)”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是(3?5,0). 5y??, 2125x?3x?2的顶点坐标为(3,?), 225所以也可以填抛物线的顶点坐标为(3,?)等等。 2y?函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。 用二次函数解决最值问题 例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积． 【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间． 例2 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）?与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表： x（元） 15 20 30 ? y（件） 25 20 10 ? 若日销售量y是销售价x的一次函数． （1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式； （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？?此时每日销售利润是多少元？ 8 【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b．则??15k?b?25, 解得k=-1，b=40，?即一次函数表达式为y=-x+40． ?2k?b?202 （2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元 w=（x-10）（40-x）=-x+50x-400=-（x-25）+225． 产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元． 【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，?“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）?问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程． 例3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2．5 m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示) 2 ( ) A．1．5 m B．1．625 m C．1．66 m D．1．67 m 分析：本题考查二次函数的应用 答案：B 9