求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．
20．解：（Ⅰ）易知椭圆右焦点F(1,0),∴c?1，
2抛物线x?43y的焦点坐标0,3
??
x2y2?b?3?b?3?a?b?c?4?椭圆C的方程??1
432222
（Ⅱ）易知m?0，且l与y轴交于M?0,?设直线l交椭圆于A?x1,y1?,B?x2,y2?
??1??m?，
?x?my?1?由?x2y2??3m2?4?y2?6my?9?0
?1??3?422∴???6m??363m?4?144m?1?0
2
????∴y1?y2??6m9 ,y?y??123m2?43m2?4??1????1?1?x1,?y1? m?1 my2
又由MA??1AF??x1,y1???1??1?
1 my1同理?2??1?∴?1??2??2?1?11???? ??m?y1y2??3m2?4?2my1?y2116m?????2????∵ ??y1y2y1y2933m?4??
∴?1??2??2?1?11?12m8?????2???? ??m?y1y2?m338； 3
所以，当m变化时， ?1??2的值为定值?（Ⅲ）先探索，当m?0时，直线l?OX轴，
则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交FK的中点N，且N??5?,0?，?2?
猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点N??5?,0? ?2?
证明：由（Ⅱ）知A?x1,y1?,B?x2,y2?，∴D(4,y1),E(4,y2) 当m变化时，首先证直线AE过定点N?
?5?,0?， 2??
方法1）∵lAE:y?y2?y2?y1??x?4?4?x1
当x?
y?y1?3?2?4?x1??y2?3?y2?y1?5
?????时，y?y2?2
4?x1?2?2?4?x1?2
?
2?4?my1?1??y2?3?y2?y1?3?y2?y1??2my1y2?2?4?x1?2?4?x1?3??6m?9?2m?3m2?43m2?4?0
2?4?x1??5?,0?在直线lAE上， ?2??5??5?,0?也在直线lBD上；∴当m变化时，AE与BD相交于定点?,0? ?2??2??
∴点N?
同理可证，点N?
方法2）∵kEN?y24?52?2y23，
kAN?y1x1?52?y1my1?1?52?2y1
2my1?3kEN?kAN?
2y22y12y?2my1?3??6y1??2 32my1?33?2my1?3?4m??9?6m?6?3m2?43m2?4?0 3?2my1?3??
4my1y2?6?y1?y2??3?2my1?3?，
∴kEN?kAN∴A、N、E三点共线，同理可得B、N、D也三点共线；
∴当m变化时，AE与BD相交于定点?,0?
?5?2??21 （本题满分12分）
13，其图像在点A（1，f(1)），B（m,f(m))处ax?bx2?cx（a?b?c）
3的切线的斜率分别为0，?a
设函数f(x)?（1）求证：0?b?1； a（2）若函数f(x)的递增区间为?s,t?，求|s?t|的取值范围；
（3）若当x?k时（k是与a，b，c无关的常数），恒有f?(x)?a?0，试求k的最小值。 解：（1）f?(x)?ax?2bx?c,f(1)?a?2b?c?0,f?(m)?am?2bm?c??a.
又a?b?c,可得4a?a?2b?c?4c,得4a?0?4c,故a?0,c?0, 又c??a?2b代入易得?2'21b??1 ③。 3a22将c??a?2b代入f?(m)?am?2bm?c??a ④得am?2bm?2b?0, 即方程ax?2bx?2b?0有实根。故判别式4b?8ab?0，得由③④得0?22bb??2,?0 ④ aab?1 a222（2）由f?(x)?ax?2bx?c的判别式：4b?4ac?0得方程ax?2bx?c?0 ⑤
有两个不等实数根，设为x1,x2。显然1是其中的一个根。并且x2?0?1由题意得
?s,t???x2,x1?，所以|s?t|?|x1?x2|=2?2ba得取值范围是?2,4?
，又由（1）知0?b?1， 所以|s?t|a（3）由f?(x)?a?0得ax?2bx?2b?0,又因为a?0，所以整理得：
2bbb(2x?2).?x2?0，设g()?(2x?2).?x2，则由题意得，g(1)?0且g(0)?0
aaa容易得到x??3?1或者x?3?1，故k?3?1，即最小值为3?1。