某个适当的空间X中的点，f是X到X的一个映射，把每个x移到f(x).方程f(x)?x的解恰好就是在f这个映射下被留在原地不动的点，故称不动点，于是解方程的问题就是化成了找不动点的这个几何问题，不动点理论就是研究不动点的有无、个数性质与方法.
首先,本文介绍Banach 不动点定理的证明
定理l （Banach 不动点定理 ——压缩映射原理[10]）设(X,?)是一个完备的度量空间
T是(X,?)到其自身的一个压缩映射,则T在X中存在惟一的不动点.
证明 首先,证明T存在不动点
取定x0?X以递推形式xn?1?Txn 确定一序列?xn?是Cauchy 列.事实上，由
?(xm?1,xm)??(Txm,Txm?1)?K?(xm,xm?1)?K?(Txm?1,Txm?2)?K?(xm?1,xm?2)???K?(x1,x0)任取自然数m,n,不妨设m?n那么
2m
?(xm,xn)??(xm,xm?1)????(xn?1,xn)?(Km?Km?1???Kn?1)?(x1,x0)1?Kn?mKm?K()?(x1,x0)??(x1,x0)1?K1?Km**从而知?xn? 是一Canchy 列,故存在x?X使xn?x且x*是T的不动点,因为
?(x*,Tx*)??(x*,xn)??(xn,Tx*)??(x*,xn)?K?(xn?1,x*)?(n??)
**故?(x,Tx)?0,即Tx?x,所以x*是T的不动点.
**其次,下证不动点的惟一性
******设T有两个不动点x,x1,那么由Tx?x及Tx1?x1有
?(x,x1)??(Tx,Tx1)?K?(x,x1)
****** 设x?x1,则?(x,x1)?0,得到矛盾，从而x?x1，唯一性证毕.
******作为Brouwer不动点定理从有限维到无穷维空间的推广，1927年Schauder证明了下面不动点定理，我们称其为Sehauder不动点定理I：
定理2 设E是Banach空间，X为E中非空紧凸集，f:X?X是连续 自映射，则f在X中必有不动点.
Sehauder不动点定理的另一表述形式是将映射的条件加强为紧映射(即对任意x?X，
f?x?是紧的)，这时映射的定义域可不必是紧集，甚至不必是闭集，有下面定理，我们称其
ii
为Schauder不动点定理II：
定理3 设E是Banach空间，X为E中非空凸集，f:X?X是紧的连续自映射，则f在
X中必有不动点.
定义6 设E是线性拓扑空间，如果E中存在由凸集组成的零邻域基，则称E是局部凸的线性拓扑空间，简称局部凸空间.
1935年，Tyehonoff进一步将Sehauder不动点定理I推广到局部凸线性拓扑空间，得到了下面的不动点定理，我们称其为Tyehonoff不动点定理：
定理4 设E是局部凸线性拓扑空间，X是其中的非空紧凸集，f:X?X是连续自映射，则f必有不动点，即存在x0?X，使得f(x0)?x0.
1950年，Hukuhara将Schauder不动点定理II与Tyehonoff不动点定理结合起来得到下面的定理，我们称其为Sehauder--Tychonoff不动点定理：
定理5 设E是局部凸线性拓扑空间，X是其中的非空凸集，f:X?X是紧连续自映射，则f必有不动点，即存在x0?X，使得f(x0)?x0.
从20世纪30年代起，人们开始关注集值映射的不动点问题.所谓集值映射的不动点， 定义如下：
定义7 设X是拓扑空间，T:X?2是集值映射，其中2表示X的所有非空子集的集合.若存在x0?X，使x0?T(x0)，则称x0是T的不动点.
1941年，kllcIltani把Bmuwer不动点定理推广到集值映射的情形，得到下面的不动点定理，我们称其为Kakutani不动点定理：
定理6 设X?R是凸紧集，且T:X?2是具闭凸值的上半连续集值映射，则T必有不动点.
1950年，Botmenblust，Karlin把Sehauder不动点定理I推广到集值映射的情形： 定理7 设E是Banach空间，X是E中的非空紧凸集，T:X?2是具有闭凸值的上半连续集值映射，则T必有不动点.
1952年，Fan，Glicksberg分别把Tyehonoff不动点定理推广到集值映射的情形，成为Kakutani-Fan-Glicksberg不动点定理或K-F—G不动点定理.即：
定理8 设E是局部凸的Hausdorff线性拓扑空间，X是E中的非空紧凸集，
XmXXXT:X?2X是具有闭凸值的上半连续集值映射，则T必有不动点.
iii
1968年，Browder又证明了另一种形式的关于集值映射的不动点定理，本文称此定理为Fan-Browder不动点定理：
定理9 设X是Hausdorff线性拓扑空间E中的非空凸紧子集，集值映射S:X?2满足：
(1)对任意x?X，S(x)是X中的非空凸集
(2)对任意y?X,S(y)??x?X:y?S(x)?是Z中的开集
?1X则存在x0?X，使x0?S(x0). 本章小结
本章详细介绍了Banach 不动点定理及其证明，概况了对不动点定理的几种推广形式.
第3章 不动点定理在数列中的应用
在高考试题中，数列向所对应函数的不动点收敛的问题，常可以用单调性结合数学归纳法的方法来解决．“不动点”问题虽不是高考大纲的要求，但在函数迭代、力程、数列、解析几何中都有重要的价值和应用，在历年的高考中也经常看到“不动点”的影子以全国卷I为例，2007年，2008年、2010年高考的压轴题都是可以用“不动点”的方法比较容易地去解决．
用“不动点”的方法在学生平时解题中主要是求数列的通项公式、数列的单调性、有界性及收敛性等.
3.1求数列的通项公式
定理10 已知数列?xn?满足xn?f?xn?1?,f?x??ax?b ,其中c?0,ad?bc?0，设
cx?d?1p是f?x?唯一的不动点，则数列??xn???是一个等差数列. p?ax?b，亦即p是一元二次方
cx?d证明 因为p是f?x?唯一的不动点，所以p是方程x?程cx??d?a?x?b?0的唯一解.得
2 p?所以 ii
a?d,b?pd?cp2?ap 2c
?axn?1?ba?pc?xn?1?b?pd?a?pc?xn?1?cp2?apxn?p??p??cxn?1?dcxn?1?dcxn?1?d??a?pc??xn?1?p?cxn?1?d
cxn?1?d11c?xn?1?p???d?cp???xn?p?a?pc??xn?1?p?a?pcxn?1?p?cd?cp1?a?pca?cpxn?1?p
把 p?a?d代入上式，得: 2c12c1??
xn?pa?dxn?1?p 令 k??12c，可得数列?a?d?xn???是一个等差数列. p?在初等数学中经常会遇到求这类问题，已知数列?xn?的首项，数列的递推关系，求数列的通项，这类问题往往难度很大，通过不定点定理，大大降低了此类问题的难度.
例1 若a1??1,an?1*（n?N，且n?2）求数列?an?的通项公式.
2?an?111，构造函数f?x??，易知f?x?有唯一的不动点
2?an?12?x解 根据迭代数列an?p?1，
根据定理 可知a?0,b?1,c??1,d?2， 则
11??1? an?1an?1?1即数列??1?1?是以首项?，公差为?1的等差数列.则对应的通项公式为
2?an?1?iii
111????n?1???1???n an?122解得an?3?2n 1?2n又a1??1也满足上式.所以?an?的通项公式为an?3?2n.
1?2n对于此类形式的数列，已知数列?xn?满足xn?f?xn?1?,f?x??ax?b ,其中
cx?d?1?c?0,ad?bc?0，求其通项.运用不动点定理，可以简单快捷地解答.即数列??是
a?1?n?以首项a1，公差为
2c的等差数列. a?d推论 已知数列?xn?满足xn?f?xn?1?,f?x??ax?b ,其中a?0，设p是f?x?唯一的不动点，则数列?xn?p?是一个公比为a等比数列
*例2 若a1??1,an?2an?1?3，（n?N，且n?2），求数列?an?的通项公式.
解 根据迭代数列an?2an?1?3，构造函数f?x??2x?3，易知f?x?有唯一的不动点p??3，
根据推论 可知a?2,b?3， 则
an???3??2?an?1???3??
所以an?3?2?an?1?3?
所以?an?3?是以a1?3?2为首项，2为公比的等比数列，
n则当n?2时，有an?3?2， n故an?2?3
又a1??1也满足上式.
n所以?an?的通项公式为an?2?3.
在高中阶段，学生在学习了数列之后，经常会遇到已知a1及递推公式，求数列an?1?f?an?的通项公式的问题，很多的题目令人感到非常棘手.而不动点定理给出了一个“公式”性的方法——不动点法，应用此法可巧妙地处理此类问题.
ii