数学分析第十章多元函数微分学自测题解答
一、判断题 (对的记“√”,否则记“X”,每小题2分,共12分)
(×)1.若点(x,y)沿着无数多条平面曲线趋向于点(x0,y0)时, 函数f(x,y)都趋向于A, 则
limf(x,y)?A.
(x,y)?(x0,y0)注：
(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A时，点(x,y)可沿着任意平面曲线趋向于点(x0,y0).
(×)2. 若两个偏导数fx?(x0,y0) , fy?(x0,y0)都存在，则f(x,y)在点( x0 , y0 )连续. (√)3. 函数f(x,y)在点(x0,y0)的邻域G存在两个偏导数,且两个偏导数在点(x0,y0)连续则
f(x,y)在点(x0,y0)可微.
(×)4. 若 limlimf(x,y)? limlimf(x,y)?A ,则
x?x0y?y0y?y0x?x0 lim(x,y)?(x0,y0)f(x,y)?A .
2注： 如 limlimx?0y?0xyx?y422? limlimxyx?y422y?0x?0?0 ,但 lim(x,y)?(0,0)xyx?y42 不存在.
??(x,y) , fyx??(x,y)在区域D内连续是这两(√)5. 函数z?f(x,y) 的两个二阶混合偏导数 fxy个二阶混合偏导数在区域D内相等的充分条件.
??(x0,y0) , (×)6.设函数z?f(x,y) 在点(x0,y0)的邻域G有二阶连续的偏导数,记A?fxx??(x0,y0) ,??B2?AC,则当??0时, z?f(x,y) 在 ??(x0,y0) ,C?fyyB?fxy点(x0,y0)取得极值.
注： 要求(x0,y0)是稳定点. 二、选择题 (每小题2分, 共1４分)
1. 若f(x,y)在点(x0,y0)处可微，则f(x,y)在点(x0,y0)处下列结论不一定成立的是( C ). （A）连续； （B）偏导数存在； （C）偏导数连续； （D）切平面存在. ?4xy22,x?y?0?222. 函数f(x,y)??x?y 在原点(0,0)间断的原因是( B ).
?1, x2?y2?0?(A) 在原点无定义； (B) 在原点极限不存在；
(C) 在原点极限存在但无定义； (D) 在原点极限存在但极限值不等于函数值. 注： 由于 lim4xyx?y222x?0y?kx ? lim24kx2x?0x(1?k)?4k1?k2,故在原点极限不存在.
1
?x2?2y2,(x,y)?(0,0)?3. 设f(x,y)??x?y,则fy?(0,0)?( C ).
?0, (x,y)?(0,0)?（A）0； （B）1； （C）2； （D）-1. 注： fy?(0,0)?limf(0,?y)?f(0,0)?y?lim2?y?y?2.
?y?0?y?04. 设u?ln(1?x?y2?z3)，则(23?u?x??u?y?12?u?z)(1,1,1)?（ D ）.
32（A）3； （B）； （C） ； （D）.
5．设z?f(u,v,w), 而f具有一阶连续的偏导数, u??(x,y)的偏导数存在, v??(x),
w?F(y)均为可导函数,则
?z?x? ( A ).
??fv???(x)； (B) fu??x??fv???(x)?fw?F?(y)； (A) fu??x??fu?????(x)?fw?F?(y). ??fv???(x)?fw?； (D) fu??x?fv?(C) fu??xy注：
?z?x??z?u?u?x??f?v?v?x??fv???(x) ?fu??x6. 函数f(x,y)?2xy?3x2?2y2?10在点(0,0)处( B ).
（A）取得极小值； （B）取得极大值； （C）无极值； （D）不能判定是否取得极值.
??(x,y)??6,fxy??(x,y)?2,fyy??(x,y)??4, 注：fx?(x,y)?2y?6x,fy?(x,y)?2x?4y,fxx有fx?(0,0)?0,fy?(0,0)?0,???22?0,A??6?0,故在点(0,0)处取得极大值. 7. 函数f(x,y)?x?y?3x?3y的极值点为( C ).
3322（A）(０,０),(０,２)； （B）(２,０),(２,２)； （C）(０,０),(２,２)； （D）(０,２),(２,０).
22???6(x?1),fxy???0,fyy???6(y?1),得稳定点(０,０), 注：由fx??3x?6x,fy??3y?6y,fxx(０,２),(２,０),(２,２)；又???36(x?1)(y?1),在点(０,０),(２,２),均有??0. 三、填空题 (每小题2分,共16分)
1. 点集E?{(x,y)y?x2}是 无界开 区域(有界或无界；闭或开)；
E的边界为 {(x,y)y?x} .
2 2
2. 函数f(x,y)?24x?y222ln(3?x?y)2?arcsin(3?x?y)的定义域是
222 {(x,y)2?x?y?3,4x?y} .
注：arcsin(3?x2?y2)的定义域是{(x,y)2?x2?y2?4}；4x?y2的定义域
1ln(3?x?y)22是{(x,y)4x?y2?0}；的定义域是{(x,y)x2?y2?3且x2?y2?2}.
3. lim4x?y1222(x,y)?(,0)2ln(1?x?y)xy? 2ln3?ln4 ； lim2?xy?4xyx?0y?0? ?14 .
4. 设f(x,y)?esin? y?(x?1)arctanx?yxy222??,则fx(1,1)?arctan2 ,fy(1,1)? ??e.
注： fx?(x,y)?yexysin? y?arctanx?yxy2?(x?1)[arctanx?yxy222]?x,
fy?(x,y)?xexysin? y??exycos? y?(x?1)[arctanx?yxy2]?y.
??故fx(1,1)?arctan2, fy(1,1)??ecos????e.
5. 设z?f(x,v),v?v(x,y)，其中f,v具有二阶连续偏导数，则
?z?y22??2??? fvv(vy)?fvvyy .
注：
?z?y??f?v?v?yx?fv?(x,v)v?(x,y), y2
?z?y2222??(v??(fv?v?)??fvv)?fv?v??. yyyyy6. 设z?yln(xy), 则
?z?x
2
? y[lnyln(xy)?x2lnyx?1x2] ；
?z?y?xx2? yx?1[xlnyln(xy)?ln(xy)?lny?1] .
注： z?yln(xy),
?z?x?ylnyln(xy)?yxx1x,
?z?y?xyx?1ln(xy)?yx1y,
?z?x
2
2
?ylnx2yln(xy)?yxlnyx?yxlnyx?yx1x2?y[lnx2yln(xy)?2lnyx?1x2],
?z?y?x
2?yx?1lny[xln(xy)?1]?yx?1[ln(xy)?1]?y3
x?1[xlnyln(xy)?lny?ln(xy)?1].
7. 抛物面
在点M( x0 , y0 ,z0 )处的切平面方程和法线方程分别是
z?z0?2ax0(x?x0)?2by0(y?y0) z?z0?2ax0(x?x0)?2by0(y?y0) .
1128. 函数f(x,y)?e2x(x?y2?2y)的极小值点为 (,?1) ，极小值为 ?2e . 1注: 由fx?(x,y)?e2x(2x?2y2?4y?1),fy?(x,y)?e(2y?2),得稳定点(,?1).
22x四、解答题(每小题5分,共40分)
1?cos(xy)xsin(xy)1.求极限
(x,y)?(0,4)lim.
解:
(x,y)?(0,4)lim1?cos(xy)xsin(xy)?(x,y)?(0,4)lim1?cos(xy)(xy)2xysin(xy)y?12?1?4?2.
12. 求极限
(x,y)?(0,2)lim(1?x)1x(x?y)
11x?y1解:
(x,y)?(0,2)lim(1?x)2x(x?y)?xy(x,y)?(0,2)lim[(1?x)]x?e2.
3. 求极限lim(x?y).
x?0y?0222解: lim(x?y)x?0y?022xy?limex?0y?0xyln(x?y),
其中limxyln(x2?y2)?limx?0y?0xyx?y22x?0y?0(x?y)ln(x?y)?0,
2222故 lim(x?y)x?0y?022xy?e0?1.
注: limxyx?y2x?0y?022不存在,但
22xyx?y222?12,即
xyx?y22是有界量, 且
lim(x?y)ln(x?y)?limulnu?0.
x?0y?0u?04. 设z?ln(xy),求dz.
解: 由z?ln(xy)?xlnx?ylny,有
xy2xy22?z?x?lnx?1,
?z?y?2ylny?y,
故dz?(lnx?1)dx?y(2lny?1)dy.
4
5. 设f(x,y)?x?y? xy,求fx?(0,0).
f(?x,0)?f(0,0)?x?lim?x?x?1.
解：由定义， fx?(0,0)?lim注: f(x,y)?x?y? 6. 求 u??3x2?y2??x?0?x?0xy是分段函数,不可以直接求导,要用定义求.
?u?x4x?2y的偏导数,
?u?y22.
解法一：u?(3x2?y2)4x?2y?e(4x?2y)ln(3x
?u?x?u?y?e(4x?2y)ln(3x?y)22?y)，
6x3x?y2y3x?y2222[4ln(3x?y)?(4x?2y)22]；
?e(4x?2y)ln(3x?y)22[2ln(3x?y)?(4x?2y)22].
解法二：由复合函数求导法则，令s?3x2?y2,t?4x?2y，有u?st，
?u?x??u?s?s?x2??u?t?t?x2?tst?16x?s(lns)4?s[6xttts?4lns]
?(3x?y)4x?2y[4ln(3x?y)?(4x?2y)226x3x?yts22]；
?u?y??u?s?s?y2??u?t?t?y2?tst?12y?s(lns)2?s[2ytt?2lns]
?(3x?y)4x?2y[2ln(3x?y)?(4x?2y)222y3x?y22].
7. 设z?f(x?y,xy),其中f有连续偏导数,求
22?z?x , ?z?y.
解:设u?x?y,v?xy,有z?f(u,v).于是
?z?x?z?u?u?x?z?v?v?x?2xfu??yfv?,
22???z?y??z?u?u?y??z?v?v?y??2yfu??xfv?.
2228. 设z?f?2x?y,ysinx?, 其中f?u,v?有连续的二阶偏导数, 求
?z?x2,,. 2?x?y?y?z?z解: 设u?2x?y,v?ysinx,有z?f(u,v).
???fvu??，于是 由于f?u,v?有连续的二阶偏导数，故有fuv 5