4.2 永磁同步电动机三相坐标系的数学模型
为方便分析起见，将三相永磁的同步电动机看作是理想的电机，也就是说它符合下列假设：
(1) 转子上面没有阻尼绕组；定子中各个绕组的电枢电阻、电感值相等，三相定子的绕组按对称的星形分布；
(2) 其气隙磁场服从正弦分布而且各次谐波忽略不计，感应电动势也服从正弦分布；
(3) 永磁体的等效的励磁电流恒定不改变；电机中的涡流、趋肤效应、电机铁芯饱和和磁滞损耗的影响均忽略不计；温度与频率不影响电机的参数。
坐标系正方向的选取： (1) 转子逆时针方向旋转为正； (2) 正向电流生出正向磁链；
(3) 电压，电流的正方向按照电动机的惯例。
则静止三相坐标系里永磁同步电动机的定子侧电压方程
u3s?R3s?i3s?p?3s (4-1)
静止三相坐标系里永磁同步电动机的定子侧磁链方程
?) (4-2) ?3s?L3s?is3??f?Fs(3式中，
?iA??R00???A??R??0R0??????i3s??iB?，3s?B? ??，3s??00R????iC??????C??sin??uA????F(?)??sin(??120?)?u3s??u?B?，3s??
???sin(??120?)???uC??1cos120?cos240????100?????L3s?Lm3?cos120?1cos120???Ll3?010?
?cos240?cos120???001?1????电机统一理论和机电能量转换告诉我们，电机的电磁力矩[37]
(sis* ) (4-3) Te??npIm?式中，*代表取共轭复数，Im代表取虚部。
4.3 永磁同步电动机dq坐标系的数学模型
三相交流电机是一个耦合强、非线性、阶次高的多变量系统，它在三相静止的坐标系里的数学模型相当复杂，应用传统的控制策略对其实现交流调速有很大的困难，所以对于一般的三相交流电机常常应用矢量控制的方法，采用坐标变换，把三相交流的绕组等效变换成两相互相垂直的交流绕组或者旋转的两相直流的绕组，等效变换以后其产生的磁动势相等，系统的变量之间得到了部分的解耦，它的数学模型得到了大大简化，使得对于系统的分析和控制也简化了很多，使得它的数学模型与比较简单的直流电机类似[52]。
BβN3iβαN3iB60°60° N2iαN2iβCN3iCN3iAA图4-1静止的三相和两相坐标系坐标变换采用的空间矢量位置图
通常会用到如下的六种坐标变换：三相和两相正交坐标系间变换(3s/2s变换)，两相正交坐标系和三相坐标系间变换(2s/3s变换)，静止两相和旋转两相坐标系间变换(2s/2r变换)，旋转两相和静止两相坐标系间变换(2r/2s变换)，三相静止和两相旋转坐标系间变换(3s/2r变换)，两相旋转和三相静止间变换(2r/3s变换)。根据磁动势和功率相等的等效原则，两相与三相的合成磁动势相等，即图4-1中，两相与三相绕组的磁动势在?、?坐标轴上投影相等，即
??11N2i??N3iA?N3iBcos?N3iCcos?N3(iA?iB?iC) (4-4)
3322N2i??N3iBsin?3?N3iCsin?3?3N3(iB?iC) (4-5) 2其矩阵形式为：
1?1??i??N3?2??i??3???N2?0?2?1??i?A??2i? (4-6) ?3??B???i?2???C??要使变换之后总功率保持不变，可证，匝数比应等于所以，可以求得
?i?????1?1?2?2?N32? N231??i?A2??i? (4-7) ??B???i??3?3?02?3?2?????iC??所以，三相和两相正交坐标系间变换的变换矩阵
??121?2?1?C3s/2s?2?3??3? ??02?32? ??又因为，iA?iB?iC?0，所以，可得
??1???1?122??i??2?3??i??????0??3??0?2?3?iA?2????i?B? ?222???iC???222??所以，三相和??0正交坐标系间变换的变换矩阵为
??1?1?1?22?2?3??03?2?3?2?? ?222??222??这是一个正交矩阵，所以
??102??2??iA?2??32????i???i?B????i3??1?22??i??? C??2?1???32???0???222???所以，两相正交坐标系和三相坐标系间变换的变换矩阵
(4-8) (4-9) (4-10) (4-11) C2s/3s???12?1???0?3?? (4-12) 3??22??1??2?3?2??qβN2iβFN2iqθN2idd
φN2iαα图4-2 静止的两相坐标系和旋转的两相坐标系
由图4-2可知
??id?i?cos??i?sin??i q??i?sin??i ?cos?其矩阵形式为：
??id???cos?sin???i???C?i???i?q????sin?cos?????i?2s/2r?? ???i??进而，可求得
??i???cos??sin???i?id??i?????d??sin?cos?????C?i?2r/2s??i? q?q?所以，静止两相和旋转两相坐标系间变换矩阵
C???cos?sin??2s/2r??sin?cos??? 旋转两相和静止两相坐标系间变换矩阵
C?cos??sin??2r/2s???sin?cos??? 三相静止和两相旋转坐标系间变换的变换矩阵：
(4-13) (4-14) (4-15) (4-16) (4-17)
C3s/2r??cos?2???sin??3??1??2?cos(??120?)cos(??120?)???sin(??120?)?sin(??120?)? (4-18)
?11??22? 加之 ????90? (4-19) 变换阵可变为下面的形式
??sin??2?co?C?s 3s/r23??1??2si?n?(co?s?(12/3s?C??120)??sin?(?120)??120)??cos?(? 1 2 0 ) (4-20)
?1??2?T3s/r2其逆变换矩阵是
C2r所以
(4-21)
x3s?C2r/3sx2r (4-22) x2r?C3s/2rx3s (4-23)
TT式中x3s?[xAxBxC]，x2r?[xdxqx0](x可以是电流i，电压u，也可以是磁
链?)。
将式(4-2) 3s/2r变换，可以得到
?Cs3rL C3s/r?2s3/s2Cs3r?13/s2rs3/f2Ci??C3srFs(?) 3 (4-24) 3 / 2式中 C3s/2r?3s??d??id??C?i????i?，q3s/2r3s???q? ????0???i0??C3s/2rL3sC3s/2r?1
??sin?2??cos??3??1??2?sin(??120?)sin(??120?)???0.5?0.5??1?100?????????cos(??120?)cos(??120?)???Lm3??0.51?0.5??Ll3?010??????0.5?0.5?001??1?11????????22?