4-14 设一电子以v=0.99c的速率运动。试求：(1）电子的总能量是多少？ (2）电子的经典力学动能与相对论性动能之比是多少？
（1）E?E0u21?2c?0.512MeV1?(0.99)2?5.815?10?13J
12mu0E2（2）k'??0.0804s 1Ekmc2(?1)02u1?2c
4-16设快速运动的介子的能量约为E=3000MeV,而这种介子在静止时的能量为E0=100MeV.若
6
这种介子的固有寿命是?0=2×10?s,求它在衰变前运动的距离.
E?E01u21?2c?30,?u?2.998?108uc2l?u??1.799?104m
1?
?2???02?30?0
5—1质量为10?10kg的小球作简谐振动，其振幅为0.24m，周期4s，当t=0时，位移为2.4?10m。求（1）在t=0.5s时，小球所在的位置；（2）在t=0.5s时，小球所受力的大小和方向；（3）在x?0.12m处，小球的速度；（4）由起始位置运动到x?0.12m处所需的最少时间。
解：振动方程的标准形式： x?Acos(?t??)根据题目A=0.24m；T=4s，所以???2m
m
2??0.5? ；x?0.24cos0.5?t相位??0 可得：T（1）t=0.5s时， x?0.24cos0.5?t?0.1722m
（2）t=0.5s时，a???x??0.25??0.17??0.419 F?ma??0.1?0.419?0.0419m/s2
N
m
（3）在x?0.12m处， 0.12?0.24cos(?t??) 6
可得：cos(?t??)?12 则 sin(?t??)??32
可得：v??A?sin(?t??)??0.24?0.5??3??0.326m/s 2（4）由起始位置运动到x?0.12m处所需的最少角度为
?3，时间t??????3??2?23s
5—3作简谐振动的小球，速度的最大值为0.03m?s，振幅为0.02m，若令速度具有正最大值的时刻为t=0，试求：（1）振动周期；（2）加速度的最大值；（3）振动的表达式。
（1）由vm??A可得
?1??vm?1.5rad/s,AT?2?A?4.2s vm（2）am??2A?0.045m/s2
3?3?，把它们分别代入第二式可以发现只有??满足初速度
2223?)m 条件。因此运动方程为 x?0.02cos(1.5t?2（3）由第一式得???或5—4一弹簧下端悬挂一质量为m的物体，伸长0.098m，若使物体上下振动，且规定向下为正方向。（1）当t=0时，物体在平衡位置上方0.08m处，由静止开始向下运动，求其运动方程；（2）当t=0时，物体在平衡位置并以0.6m/s的速度向上运动，求其运动方程。
?x?0.098m k?mgkg ????10rad/s ?xm?x?v022A?x?()?0???（1）根据 ? x0??arccos?v2?x0?(0)2???
得A?x0?0.08m（2）同理，
,??? x?0.08cos(10t??)m
A??2v0??0.06m,考虑到初速度的方向，???
2x?0.06cos(10t?
)m
7
5—11 已知两个同方向简谐振动：x1?0.05cos(10t?3/4?)，x2?0.06cos(10t?1/4?) 式中x以m计，t以s计。(1)求合振动的振幅和初位相；（2）另有一同方向简谐振动
x3?0.07cos(10t??)，问?为何值时，x1?x3的振幅最大？ ?为何值时，x2?x3的
振幅最小？（3）用旋转矢量法表示（1）和（2）的结果。
（1）由A?2A12?A2?2A1A2cos(?2??1)?0.078m
tan??A1sin?1?A2sin?2，并考虑到?在第一象限，故
A1cos?1?A2cos?22A12?A2?2A1A2cos(?2??1)
??1.48rad
（2）由A???A在两振动同相时最大，反相时最小，因此，
3?5???，，x1?x3的振幅最大；x2?x344的振幅最小。
5—12 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐运动，其表达式为
(t? x1?0.04cos2由A??6)；x2?0.03cos(2t??6) 试写出合振动的表达式。
A12?A22?2A1A2cos(?2??1)?0.06m
A1sin?1?A2sin?2，并考虑到?在第一象限，??0.08rad
A1cos?1?A2cos?2tan??因此，合振动方程为
x?0.06cos2(t?0.08)m
6—2 一列横波沿绳子传播时的波动方程为y?0.02sin2?(200t?2.0x)，式中x，y以m计，t以s计。（1）求此波的波长、频率、波速和传播方向；
（2）求绳子上质点振动的最大速度并与波速比较；
tx???y?0.02cos?2?(?)??????m0.0050.52??将已知波动方程写成一般形式： 与一般形式 y?Acos[?(t?)??] 对比得到
?1u??T?100m?sA?0.02m（1）振幅，波速，频率??200Hz，
xu周期T?0.005s，波长??0.5m，该波沿x轴正方向传播。 （2）振动速度v?dy?0.02?400?cos(400?t?4?x) ， dt所以 Vm?8???m?s1
8
6-4一波源做简谐振动，周期为0.02s，经平衡位置向正方向运动时，作为计时起点，设此振动以c?100m?s的速度沿直线传播，求：
（1）距波源为15m处和5m处质点振动方程和初位相； （2）距波源为16m处和17m的两质点的位相差.
解：（1）由题给条件 T = 0.02 s， u?100m?s，可得
??2?/T?100?s?1；??uT?2m 当t = 0时，波源质点经平衡位置向正方向运动， 因而由旋转矢量法可得该质点的初相为?0???/2(或3?/2）。 若以波源为坐标原点，则波动方程为
y?Acos[(100?s?1)(t?x/100m?s?1)??/2] 距波源为 x1 = 15.0 m和 x2 = 5.0 m处质点的运动方程分别为
y1?Acos[(100?s?1)t?15.5?]
y2?Acos[(100?s?1)t?5.5?]?1?1O X P
它们的初相分别为?10??15.5?和?20??5.5?（若波源初相取?0?3?/2，则初相?10??13.5?，?20??3.5?。） （2）距波源 16.0 m和 17.0 m两点间的相位差 ?????1??2??2?6—5 已知某平面简谐波的波源振动方程为y?0.06sin(?1x1?x2???
?2t)，式中y以m计，t以s计。
设波速为2m?s，试求离波源5m处质点的振动方程，这点与波源的位相差。
???t?????m ?2?xx?????与一般形式波动方程 y?Asin??(t?)??? 对比得到 y?0.06sin?(t?)?????m
u2????25???当x?5m时，质点的振动方程 y?0.06sin?(t?)?????m
2??22?2?2?5??8?m，所以 ????x??5?由于??uT?u? ??84解：因为原点的振动方程为：y?0.06sin?
6—7波源作简谐振动，其振动方程为y?4.0?10cos(240?t)，式中y的单位为m，t的单位为s，它所形成的波以30m/s的速度沿一直线传播。（1）求波的周期及波长；（2）写出
波动方程。
解：（1）由已知的运动方程可知，质点振动的角频率??240?s。根据分析中所述，
?3波的周期就是振动的周期，故有 T?2?/??8.33?10s
??uT?0.25m波长为
(2) 将已知的波源运动方程与简谐运动方程的一般形式比较后可得
A?4.0?10?3m，??240?s?1，?0?0
故以波源为原点，沿x轴正向传播的波的波动方程为
y?Acos???t?xu???0??(4.0?10?3m)cos[(240?s?1)t?(8?m?1)x]
9
?1?3
6-10一列正弦式空气波，沿直径为0.14m的圆柱形管行进，波的平均强度为
9?10?3J?s?1?m?2，频率为300Hz，波速为300m?s?1。求：（1）最大能量密度和平均能
量密度（2）相邻同位相波面间的总能量。
I9?10?3?3?10?5J/m3 解：（1）∵ I?wV∴ w??u300?x?∵ 能量密度为 w???2A2sin2??t??
?u?∴ wmax???2A2?2w?2?3?10?5?6?10?5J/m3
（2）题中相邻同相面间波含能量为?W?w?体积?w?S?
?d?u?0.14?300?w??????3?10?5?3.14???4.62?10?7J ???2?v?2?3007-4一容器内储有氧气，其压强为1.01?105Pa，温度为27 ℃，求：(1)气体分子数密度；(2) 氧气的密度；(3) 分子的平均平动动能；(4) 分子间的平均距离．(设分子间均匀等距排列) 解：（1） P?nKT 所以n?22P?2.44?1025m?3 KT （2） 氧气的密度：??MMMP?，PV?RT????所以ρ=1.3kg/m3 V?VRT
3?21w?kT?6.21?10J （3）
2 （4）
11?3.45?10?9m 是每个分子占有的体积。 d?3nn87-7 某些恒星的温度可达到约1.0?10K，这是发生聚变反应(也称热核反应)所需的温度.通常在此温度下恒星可视为由质子组成.求：(1) 质子的平均动能是多少？ (2) 质子的方均根速率为多大？ 解：（1）??33kT??1.38?10?23?108?2.07?10?15J 223kT3?1.38?10?23?1086（2）v???1.58?10m/s ?27m1.67?102
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