一、选 择 题 (本大题分5小题, 每小题3分, 共15分) (1)设A、B互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则必有 C (A)P(BA)?0 (B)P(AB)?P(A) (C)P (AB)?0 (D)P(AB)?P(A)P(B)三、解答题 （共65分） 1、(10分)某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%, 求：(1)全厂产品的次品率 (2) 若任取一件产品发现是次品,此次品是甲车间生产的概率是多少？ 2、(10分)设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y)?? (2)某人花钱买了A三种不同的奖券各一张.已知各种奖券中奖是相互独立、B、C的,中奖的概率分别为p 如果只要有一种(A)?0.03,P(B)?0.01,p(C)?0.02,奖券中奖此人就一定赚钱,则此人赚钱的概率约为 B (A) 0.05 （B） 0.06 (C) 0.07 （D） 0.08 22(3)X，则 A ?P{X??4},p?P{Y??5}~N(?,4),Y~N(?,5),p12k(6?x?y),0?x?2,0?y?4? ， 其它?0??(X?Y?4)求：（1）常数k （2）P 3、(10分)设X与Y两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为 (A)对任意实数?,p,p1?p2 （B）对任意实数?1?p2 (C)只对?的个别值，才有p1?p2 （D）对任意实数?，都有p1?p2 (4)设随机变量X的密度函数为f(x)，且f(?x)?f(x),F(x)是X的分布函数， 则对任意实数a成立的是B 1,0?x?1;?e?y,y?0;? fX(x fY(y )??)??0,其它.0,y?0.??求:随机变量Z的概率密度函数. ?X?Y 4、（8分）设随机变量X具有概率密度函数 fX(x)??1a（A）F （B） (?a)?1?f(x)dxF(?a)??f(x)dx?002?ax8,0?x?4;? 0,其他，?（C）F （D）F (?a)?F(a)(?a)?2F(a)?1 (5)二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，则X+Y与X-Y不相关的充要条件为 B （A）EX (B)EX ?[EX]?EY?[EY]?EY2222X求：随机变量Y?e的概率密度函数. ?1 5、（8分）设随机变量X的概率密度为： 1?x， f(x)?e???x??2求:X的分布函数． 222222(C)EX (D) EX ?EY?[EX]?EY?[EY]6、(9分)假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利 润5万元；发生二次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2二、填 空 题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分) 万元，求一周内期望利润是多少？ (1) P,P,P,则P. (AB)?___________(A)?0.4(B)?0.3(A?B)?0.4 3?4x,0?x?1x)??(2) 设随机变量X有密度f(,则使P (X?a)?P(X?a)0其它?7、(10分)设X，且相互独立U， ~N(0,1),Y~N(0,1)?X?Y?1,V?X?Y?1求:（1）分别求U,V的概率密度函数； （2）U,V的相关系数?UV； 2的常数a= (3) 设随机变量X,则P ~N(2,?)，若P{0?X?4}?0.3{X?0}? (4) 设两个相互独立的随机变量X和Y均服从N(1,)，如果随机变量X-aY+2 满足条件 D ， (X?aY?2)?E[(X?aY?2)]则a=__________. (5) 已知X～B,D, 则n=__________. (n,p),且E(X)?8(X)?4.8 215 ???????????? 装 ???????????? 订 ????????????? 线 ???????????? 2005~2006学年第一学期期末考试《概率论与数理统计B》试卷（A） 标准答案和评分标准 一、选 择 题（5×3分） 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 B 5 B 二、填 空 题（5×4分） 1、 0.1 2、 三、 计 算 题（65分） 1、解：A为事件“生产的产品是次品”，B1为事件“产品是甲厂生产的”，B2为事件“产品是乙厂生产的”，B3为事件“产品是丙厂生产的” 易见B-----------------------------------------------------------------------------------2分 ,B,B是?的一123 (1) 由全概率公式，得P-------------------5分 (A)?P(AB)?P(B)P(AB)?25%?5%?35%?4%?40%?2%?0.0345.iiii?1i?1142 3、 0.35 4、 3 5、 20 ??P(AB)P(B)11333 (2) 由Bayes公式有：P(B)?1A?i?120225%?5%??-----------------------------------------------------10分 0.034569P(AB)P(B)ii42、解：（1）由于????1118（2）dx( ----------------------------------------------------------10分 6?x?y)dy?(x?6x?16)dx????242429，所以dxk，可得k?f(x,y)dxdy?1(6?x?y)dy?102????24?x000??1 ----------------------------------------------5分 243、解：由卷积公式得f ， (z)?f(x,z?x)dxZ?????(z)?f(x)f(z?x)dx 又因为X与Y相互独立，所以f-----------------------------------------------------------3分 ZXY????? 当z?0时，f -----------------------------------------------------------------------5分 (z)?f(x)f(z?x)dx?0;ZXY?????(z)?f(x)f(z?x)dx?edx?1?e; 当0?z?时，f------------------------------------------------------7分 1ZXY??0????z?(z?x)?z(z)?f(x)f(z?x)dx?edx?e(e?1) 当z?1时，f ZXY??0????1?(z?x)?zz?0?0??z 所以 f-----------------------------------------------------------10分 (z)?f(x)f(z?x)dx?1?e0?z?1;?ZXY????z?e(e?1)z?1??? X?14、解：Y?e的分布函数FY(y). ln(y?1)X -----------------------------------------------------2分 F(y)?P(Y?y)?P(e?1?y)?P(X?ln(y?1))?(x)dxYX?f?? ?0,y?0;??12),0?y?e4?1; -----------------------------------------------------------------------6分 ?ln(y?1?161,e4?1?y.?ln(y?1)?4,0?y?e?1;d?于是Y的概率密度函数f --------------------------------------------------8分 (y)?F(y)?8(y?1)?YYdy?,其他.?0 (x)?5、 解： F?x??f(t)dt 1xt1t?0,F(x)?edt?e 当x------------------------------------------------------------------------------------3分 ??22? 0x11t?t?t 当x ----------------------------------------------------------------------8分 ?0,F(x)?[edt?edt]?1?e??022 ??5??k5?k??6、解 由条件知X，即P ------------------------------------------------------ 3分 ~B(5,0.2){X?k}?0.20.8,k?0,1,?,5??k???10,?5,? Y?g(X)???0,???2,5X?0;X?1;X?2;X?3 -----------------------------------------------------------------------------6分 EY?Eg(X)??g(k)P{X?k}k?0?10?P{X?0}?5?P{X?1}?0?P{X?2}?2?[P{X?3}?P{X?4}?P{X?5}] ----------------------------------------------------------- 9分 ?10?0.328?5?0.410?2?0.057?5.216(万元)7、解：（1）因为X，且相互独立，所以U都服从正态分布， ~N(0,1),Y~N(0,1)?X?Y?1,V?X?Y?1 EU ?E(X?Y?1)?EX?EY?E1?1 DU --------------------------------------------------------------3分 ?D(X?Y?1)?DX?DY?2所以 U~N(1,2)，所以 fU(u)?14?eu2?4 同理 EV ?E(X?Y?1)?EX?EY?E1?1 DU ?D(X?Y?1)?DX?DY?2所以 V~N(1,2)，所以 fV(u)?14?eu2?4 -----------------------------------------------------------------5分 （2）EUV ?E(X?Y?1)(X?Y?1)?E(X?Y?2X?1) ? EX?EY?2EX?1?DX?(EX)?(DY?(EY))?2EX?1222222 ?1 -------------------------------------------8分 所以??UV EUV?EUEV --------------------------------------------------------------10分 ?0DUDV ???????????? 装 ???????????? 订 ????????????? 线 ???????????? 2005~2006学年第一学期期末考试《概率论与数理统计B》试卷（B） 标准答案和评分标准 ﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉ 一、选 择 题（5×3分） 题号 答案 1 D 2 B 3 B 4 A 5 D 二、填 空 题（5×4分） 1、 0.1 2、 三、 计 算 题（65分） 1、解：A为事件“生产的产品是次品”，B1为事件“产品是甲厂生产的”，B2为事件“产品是乙厂生产的”，B3为事件“产品是丙厂生产的” 易见B-----------------------------------------------------------------------------------2分 ,B,B是?的一123142 3、 0.35 4、 20 5、 3 (A)?P(AB)?P(B)P(AB)?25%?5%?35%?4%?40%?2%?0.0345. (1) 由全概率公式，得P-------------------5分 iiii?1i?1???i?133P(AB)P(B)35%?4?2(BA)???-----------------------------------------------------10分 (2) 由Bayes公式有：P230.034523P(ABP(Bi)i)5 解：由卷积公式得f ， (z)?f(x,z?x)dxZ?????(z)?f(x)f(z?x)dx 又因为X与Y相互独立，所以f-----------------------------------------------------------3分 ZXY????? 当z?0时，f -----------------------------------------------------------------------5分 (z)?f(x)f(z?x)dx?0;ZXY??????(z?x)?z(z)?f(x)f(z?x)dx?edx?1?e; 当0?z?时，f------------------------------------------------------7分 1ZXY????0??z(z)?f(x)f(z?x)dx?edx?e(e?1) 当z?1时，f ZXY??0????1?(z?x)?zz?0?0??z 所以 f-----------------------------------------------------------10分 (z)?f(x)f(z?x)dx?1?e0?z?1;?ZXY????z?e(e?1)z?1??? ?X?Y?1,V?X?Y?16、解：（1）因为X，且相互独立，所以U都服从正态分布， ~N(0,1),Y~N(0,1) EU ?E(X?Y?1)?EX?EY?E1?1 DU --------------------------------------------------------------3分 ?D(X?Y?1)?DX?DY?2所以 U~N(1,2)，所以 fU(u)?u2?414?e 同理 EV ?E(X?Y?1)?EX?EY?E1?1 DU ?D(X?Y?1)?DX?DY?2所以 V~N(1,2)，所以 fV(u)?14?eu2?4 -----------------------------------------------------------------5分 22?E(X?Y?1)(X?Y?1)?E(X?Y?2X?1)（2）EUV ? EX?EY?2EX?1?DX?(EX)?(DY?(EY))?2EX?12222 ?1 -------------------------------------------8分 所以??UV EUV?EUEV ---------------------------------------------------------------10分 ?0DUDV5??k5?k??7、解 由条件知X，即P ------------------------------------------------------ 3分 ~B(5,0.2){X?k}?0.20.8,k?0,1,?,5??k???10,?5,? Y?g(X)???0,???2,5X?0;X?1;X?2;X?3 -----------------------------------------------------------------------------6分 EY?Eg(X)??g(k)P{X?k}k?0?10?P{X?0}?5?P{X?1}?0?P{X?2}?2?[P{X?3}?P{X?4}?P{X?5}] ----------------------------------------------------------- 9分 ?10?0.328?5?0.410?2?0.057?5.216(万元)