15、已知m,l是两条不同的直线，?,?是两个不同的平面，给出下列命题： ①若l垂直于?内的两条相交直线，则l??； ②若l平行于?，则l平行?内所有直线； ③若m??，l??，且l?m，则???； ④若l??，且l??，则???；
⑤若m??，l??，且?//?，则m//l。 其中正确的命题的序号是 ① ④ （注：把你认为正确的命题的序号都填上）。
三、解答题（本大题共6小题，满分40分） 16、（本题满分6 分）为了了解某地高一学生的体能状况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形的面积之比为2: 4:17:15:9:3，第二小组频数为12. （1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
（2）若次数在110 以上为达标，试估计全体高一学生的达标率为多少？
（3）通过该统计图，可以估计该地学生跳绳次数的众数和中位数分别是多少? . 【解析】
4412?0.08, ?,x?150 ; 5050x17?15?9?3?0.88; （2）
50（1）
（3）115，121.3
17、（本小题满分8分）设a?(sin2x?1,cos2x),b?(3,3).
（1）若a为单位向量，求角x； （2）设f(x)?a?b，求f(x)的单调递减区间。 【解析】（1）由(sin2x?1)?(cos2x)?1?sin2x?∴2x?2k??221 25??5??x?k??或x?k??(k?z)
661212 （2）f(x)?a?b?3(sin2x?1)?3cos2x
?或2x?21???23(31sin2x?cos2x)?322
?23sin(2x?)?36??3??2?(k?Z)?k???x?k??. 由2k???2x??2k??26263?2?](k?Z) 故f(x)单调递减区间为[k??,k??D163
18、（本小题满分8分）如图，在正方体ABCD?A1BC11D1 中，M为DD1的中点，AB?2. （1）求证：BD1平面ACM；
（2）求二面角M?AC?D的正弦值； （3）求三棱锥M?ADC的表面积和体积.
高中数学学业水平考试模拟试卷
?C1B1COA1MDAB6
【解析】
（1）连结BD交AC于O，连结OM，证明BD1OM即可。 （2）即为?MOD，其正弦值为（3）体积为
3。 32，表面积为4?6. 3 19、（本小题满分8分）圆经过点A（2，-3）和B（-2，-5） （1）若圆的面积最小，求圆的方程；
（2）若圆心在直线x?2y?3?0上，求圆的方程。 【解析】
（1）要使圆的面积最小，则AB为圆直径，可得方程为x2?(y?4)2?5 （2）因为kAB?12，AB中点为(0,－4)，所以中垂线方程为
?2x?y?4?0 y?4??2x?2x?y?4?0，由?x?2y?3?0
? 得x=－1，y=－2，?圆心坐标为(?1,?2)，易求r?10。
故所求圆方程为(x?1)??(y?2)2?10
20、（本题满分10分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1?1,a2?2，且点(Sn,Sn?1)在直线y?kx?1上。 （1）求k的值；
（2）求证{an}是等比数列。
（3）设bn?nan，求{bn}前n项和Tn。 【解析】 （1）∵点(Sn,Sn?1)在直线y?kx?1上。
故Sn?1?kSn－1
n＝1时，a1+a2=ka1+1
又a1=1，a2=2，则1+2＝k+1，∴k=2。 （2）由（1）知Sn?1?2Sn?1 ①
当n≥2时，Sn?2Sn?1?1 ② ①－②得an?1?2an(n?2)
又a2?2a1，易见an?0(n?N?)，∴故{an}成等比数列。 （3）由（2）an?1?2∴bn?n?2n?1
∴Tn?b1?b2??bn?1?2??2?21?3?22???n?2n?1
n?1an?1?2(n?N?) an?2n?1
2Tn?1?21?2?22?3?23???n?2n
两式相减得?Tn?1?2?22???2n?1?n?2n?Tn?(n?1)?2n?1
高中数学学业水平考试模拟试卷 7