证明：设f?x??0?0?0?由于
x2f'?x??cosx?1?,2f''?x???sinx?x, f'''?x??1?cosx1?cos?x3x，让f?x?在0点展开，并取n?2，3!故f?0??f'?0??f''?0??0 ， 则
f?x??0?0?0?1?cos?x3x 3!13x. 3!当 x?0时，f?x??0，从而 sinx?x?评注：利用泰勒公式证明不等式，首先就要将函数在某点处展开，展开到几阶根据需要或题目条件而定，选择哪种类型的余项也需根据需要而定。
x2x例 14 求证：对于任意x?(??,??)，成立 e?1?x?e
2x证：利用ex带拉格朗日型余项的马克劳林公式（0???1）可得
x2x3xnxn?1?xe?1?x??????e
2!3!n!(n?1)!xx2222 ?1?x???xn?2?xn?1e?x
2!3!n!(n?1)!x222n?22n?1?x ?(1?x???x?xe)
23!n!(n?1)!xxx2?x ?(1?x????e)
2(n?2)!(n?1)!x2x ?e
2n?2n?1评注：上面的证明在用ex的带皮亚诺型余项的展开式时会更简
- 16 -
单，证明中还用到了不等式证明，这里不加证明。
21?(n?2),该不等式用分析法容易n!(n?2)!（七）泰勒公式与行列式计算
在代数中，有关利用代数知识计算行列式的方法很多，但应用微积分的方法计算行列式的极为少见，下面从泰勒公式入手，介绍利用泰勒展开式计算行列式的方法，以之丰富行列式的计算方法，也使得微积分学与代数学两大学科分支更加紧密联系起来。
利用泰勒公式计算行列式的主要思路是：根据所求行列式的特点，构造相应的行列式函数，再把这个行列式函数按泰勒公式在某点展开，只要求出行列式函数的各阶导数值即可。
现在通过例子来具体说明求解过程：
xa例14 计算行列式D?a...abxa...abbx...abbb...a...............bbb的值 ...xn?n解：记D?fn?x?，将D按泰勒公式在a处展开：
f''n?a?f??n?a?2nfn?x??fn?a??fn'?a??x?a???x?a??...??x?a?
2!n!n根据行列式的性质，对于任何k?N，有
fk?a??a?a?b?k?1，又根据行列式求导法则，有
fn'?x??nfn?1?x?,f'n?1?x???n?1?fn?2?x?,...,f2'?x??2f1?x?,f1'?x??1，
所有fn?x?在x?a处的各阶导数为
- 17 -
fn?k??a??n?n?1?...?n?k?1?a?a?b?n?k?1,?k?1,2,...,n?1?;
fn?n??a??n?n?1?...2?1,从而
n?n?1?nn?2n?32a?a?b??x?a??a?a?b??x?a??...1!2!
n?n?1?...2n?n?1?...2?1n?1n?a?x?a???x?a?n!?n?1?!fn?x??a?a?b?n?1?若a?b，则fn?x???x?b???x??n?1?b??；若a?b，则
a?x?b??b?x?a? fn?x??a?bnnn?1（八）泰勒公式在金融数学中的应用 1.在VaR计算中的应用
VaR模型，自20世纪90年代被引入到风险管理中，已经成为金融机构和监管当局所广泛采用的风险度量和管理工具，VaR模型的常见计算方法有参数法、历史模拟法和蒙特卡罗模拟法，其中的参数法就是由资产价值函数的泰勒展开来计算，并且依据函数展开阶数的不同，分为delta类方法和gamma类方法。考虑一个投资组合
TX??x1,x2,...xn,?，其中xi，i?1,2...,n表示第i种资产的投资权重。t时刻
所有资产的价值向量V??v1,v2,...,vn,?，组合X的价值为V??xivi，在
Ti?1n下一个时段?t内，组合价值变动为?V??xi?vi，假设每种资产价值
i?1n都由K个市场因子确定，且这K个市场因子服从联合正态分步，
TF??f1,f2,...,fn,?，则?V按照一阶泰勒展开得
nk?vi?F,t??v?F,t??V??xi?t??xi?i?fj ?t?fi?1i?1j?1jn- 18 -
由此得出delta参数法；若将投资组合的价值变动函数按照二阶泰勒公式展开，则得gamma参数法。 2．在债券定价中的应用
在债券的定价及投资组合风险值的计算中，平均期限是一个重要的概念，它衡量基础产品价格相对于基础利率变化的幅度。[5]一个20年期的债券也许只有17年的平均期限。这意味着，如果利率上升2%，该债券价格将下跌34%；而利率下跌1%时，债券价格则上升17%。若每次用VaR模型来进行计算，工作是十分烦琐的。举例来说，现有一个5年期的票面金额为100美元的债券，年利息为10美元。计算当利率从10%变化到11%或15%时，债券的价格变化如下表：
利率?r? 利息?s? 期限?t? 贴现因子Dfn 年金因子10% 10美元 5年 1?0.6209 5?1?r?11% 10美元 5年 1?0.5988 5?1?r?15% 10美元 5年 1?0.4972 5?1?r??1?Dfn? r3.791 62.09美元 37.91美元 100美元 3.6473 59.88美元 36.47美元 96.35美元 3.3520 49.72美元 33.52美元 83.24美元 零息票部分 年金?1?Dfn??s r债券价格 麦考雷（Macaulay）利用泰勒展开式的第一项求出该债券平均期限为3.791。用平均期限法的预计相对准确；但当利率变化较大时
- 19 -
误差较大。麦考雷用凸性及凸性的修正值重新估计，得到了非常满意的结果。凸性（用?表示）表示的是泰勒展开式的第二项，再用
12?????r?进行调整（?r为利率变化），如下表：（该债券的凸性用泰2勒公式易算为19.37） 利率变化 平均期限 平均期限估计值 凸性 凸性调整值 平均期限和凸性 债券新价格 1% -3.791 -3.791% 19.37 0.097% -3.791%+0.097% 96.31美元 5% -3.791 -18.95% 19.37 2.421% -18.95%+2.421% 83.47美元 我们发现与债券的实际价格非常接近，但极大地减少了工作量。麦考雷正是通过泰勒展开式求出了修正的平均期限和凸性值；而布莱克（Black）和斯科尔斯（Scholes）利用它建立了著名的期权定价模型。
结束语
随着数学领域的飞速发展，许多数学家们研究出了许多的定理、公式，以便我们在解决数学疑难问题时有了多重选择。本文我们学习了泰勒公式及其它的应用，了解了在数学分析中应用泰勒公式解题是非常简便的，而次公式不仅仅只有本文介绍的八个方面的应用，它的应用非常的广泛，在各个学科中也有应用，如果能很好的应用它来解
- 20 -
题，会使更多的人能更好的学好数学，数学领域会发展的更好。
参考文献：
[1] 华东师范大学数学系.数学分析（上册）.北京：高等教育出版社，2001.134—141 [2] 刘玉琏.数学分析讲义.北京：高等教育出版社，2004.230—239 [3] 郑玉仙，泰勒定理的妙用.高等数学研究.2006.1：46—48 [4] 钱吉林.数学分析题解精粹.崇文书局.2003.10：239—240
[5] Cormac Butler.风险值概论.上海财经大学出版社.2002.137—153.
- 21 -