1.4.1 1.4.2全称量词与存在量词
班级 姓名 学习时间：
一、学习目标
1、通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词． 2、了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及 判断其命题的真假性．
3、了解含有一个量词命题的否定及其写法.
二、主线问题
问题1; 下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？ （1）2x＋１是整数； (2) x＞３；
(3) 如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等； （4）平行于同一条直线的两条直线互相平行；
（5）2013年所有高中一年级的学生数学课本都是采用人民教育出版社A版的教科书； （6）所有有中国国籍的人都是黄种人； （7）对所有的x∈Ｒ, x＞３；
（8）对任意一个x∈Ｚ，2x＋１是整数.
问题2 ：命题（5）－（8）跟命题（3）、（4）之间有什么关系?
命题（5）－（8）跟命题（3）、（4）有些不同，它们用到 “ ”“ ” 这样的词语，这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部，这样的词叫做 ，用符号“?”表示 全称量词 ： 日常生活和数学中所用的“一切的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，“凡”，“都”等词可统称为全称量词，表示个体域里的所有个体。
全称命题： 含有全称量词的命题，叫做 。
通常将含有变量x的语句用p（x），q（x），r（x），……表示，变量x的取值范围用M表示.
全称命题“对M中任意一个x，都有p（x）成立”可用符号简记为 ，读做“对任意x属于M，有p（x）成立”.
问题3 ： 刚才在判断命题（5）－（8）的真假的时候，我们还得出这样一些命题：
，
（5）存在个别高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书；
，
（6）存在一个（个别、部分）有中国国籍的人不是黄种人．
，
（7）存在一个（个别、某些）实数x（如x＝2），使x≤３．（至少有一个x∈Ｒ, x≤３）
，
（8）不存在某个x∈Ｚ使2x＋１不是整数．
这些命题用到了“ ”“ ”这样的词语，这些词语都是表示整体的一部分的词叫做 .并用符号“?”表示.
存在量词：日常生活和数学中所用的“存在”，“有一个”，“有的”，“有一些”“至少有一个”，“至多有一个”等词统称为存在量词，表示个体域里有的个体。
特称命题：含有存在量词的命题叫做 （或存在命题）
通常将含有变量x的语句用p（x），q（x），r（x），……表示，变量x的取值范围用M表示.
特称命题：“存在M中一个x0，使p（x）成立”可以用符号简记为： .读做“存在一个x0属于M,使p（x0）成立”．
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三、 例题预热
知识点一 全称命题与特称命题的判断
判断下列语句是全称命题，还是特称命题： (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)有的向量方向不定；
2
(3)对任意角α，都有sinα＋cos2α＝1； (4)有些素数的和仍是素数； (5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．
练习：判断下列语句是不是全称命题还是特称命题，如果是，用量词符号表达出来。 （1）中国的所有江河都注入太平洋； （2）0不能作除数；
（3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数； （4）每一个向量都有方向；
知识点二 判断全称或特称命题的真假
试判断以下命题的真假：
(1)?x∈R，x2＋2>0； (2)?x∈N，x4≥1； (3)?x∈Z，x3<1； (4)?x∈Q，x2＝3.
练习2： 判断下列命题的真假：
(1)对任意的x,y都有x?y?2xy； (2)所有四边形的两条对角线都互相平分； (3)?实数a?2且b??1使a?b?4a?2b??5； (4)存在实数x使函数f(x)?x?
22224(x?0)取得最小值4. x三、目标检测
1．填上适当的量词符号“?”“?”，使下列命题为真命题．
(1)________x∈R，使x2＋2x＋1≥0； (2)________α，β∈R，使cos(α－β)＝cosα－cosβ；
??ax＋by＝1
(3)________a，b∈R，使方程组?2，有唯一解．
?ax＝2?
2．将下列命题用含有“?”或“?”的符号语言来表示．
(1)任意一个整数都是有理数，________. (2)实数的绝对值不小于0，________.
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(3)存在一实数x0，使x30＋1＝0，________.
3．判断下列命题是否是全称命题或特称命题？若是，并判断其真假．
(1)?x0，x0－2≤0； (2)矩形的对角线互相垂直平分； (3)三角形两边之和大于第三边； (4)有些素数是奇数．
4.判断下列特称命题的真假,并说明理由：
（1）有一个实数x，使x?2x?3?0；（2）存在两个相交平面垂直于同一条直线；（3）有一些整数只有两个正因数.
2
五、分层达标
A组 1．判断下列全称命题的真假，其中真命题为（ ）
A．所有奇数都是质数 B．?x?R,x?1?1 C．对每个无理数x，则x2也是无理数
2 D．每个函数都有反函数
2．将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（ ）
A．?x,y?R，都有x?y?2xy B．?x,y?R，都有x?y?2xy C．?x?0,y?0，都有x?y?2xy D．?x?0,y?0，都有x?y?2xy 3．判断下列命题的真假，其中为真命题的是( )
A．?x?R,x?1?0 B．?x?R,x?1?0 C．?x?R,sinx?tanx D．?x?R,sinx?tanx 4．下列命题中的假命题是（ ）
A．存在实数α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ
B．不存在无穷多个α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ C．对任意α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ
D．不存在这样的α和β，使cos(α+β) ≠cosαcosβ－sinαsinβ 5．对于下列语句
（1）?x?Z,x?3 （2）?x?R,x?2 （3）?x?R,x?2x?3?0 （4）?x?R,x?x?5?0
22222222222222其中正确的命题序号是 。（全部填上）
B组
1．下列命题不是“?x0∈R，x20>3”的表述方法的是( )
22
A．有一个x0∈R，使x0>3 B．有些x0∈R，使x0>3 C．任选一个x∈R，使x2>3
2
D．至少有一个x0∈R，使x0>3
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2．下列命题是真命题的是( )
A．?x∈R，x2＋2x＋1＝0 B．?x0∈R，－x0＋1≥0 C．?x∈N*，log2x>0
2
D．?x0∈R，cosx0<2x0－x0－3 3．下列命题是全称真命题的是( )
22
A．?x∈R，x2>0 B．?x∈Q，x2∈Q C．?x0∈Z，x20>1 D．?x，y∈R，x＋y>0 4．下列语句不是全称命题的是( )
A．任何一个实数乘以零都等于零 B．自然数都是正整数 C．高二(一)班绝大多数同学是团员 D．每一个向量都有大小 5．给出下列命题：①存在实数x0，使x20>1；②全等三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一
2
个实数a，使ax－ax＋1＝0的根为负数．其中特称命题有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．下列命题正确的是( )
2
A．对所有的正实数t, t为正且t 22 C．不存在实数x，使x<4且x＋5x－24＝0 D．存在实数x0，使得|x0＋1|≤1且x0>4 C组 2 1．给出下列几个命题：①至少有一个x0，使x0＋2x0＋1＝0成立；②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立； 22 ③对任意的x，都有x＋2x＋1＝0不成立；④存在x0，使x0＋2x0＋1＝0成立． 其中是全称命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．0 2．将“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是( ) 2 A．?x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy B．?x0，y0∈R，使x20＋y0≥2x0y0 2 C．?x>0，y>0，都有x2＋y2≥2xy D．?x0<0，y0<0，使x20＋y0≤2x0y0 5．已知命题p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”，则命题“p且q”是真命题的充要条件( ) A．a≤－2或a＝1 B．a≤－2或1≤a≤2 C．a≥1 D．－2≤a≤1 7．将a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改写成全称命题是________． 8．用符号“?”与“?”表示下面的命题： (1)实数的绝对值大于等于0； (2)存在实数对，使两数的平方和小于1； (3)任意的实数a，b，c，满足a2＋b2＋c2≥ab＋ac＋bc. 六、小结与反思 1．全称命题与特称命题的表述 同一个全称命题或特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法．现列表总结如下．在实际应用中可以灵活地选择. 命 题 全称命题“?x∈A，p(x)” 特称命题“?x0∈A，p(x0)” 表述方法 ①所有的x∈A，p(x)成立 ①存在x0∈A，使p(x0)成立 ②至少有一个x0∈A，使p(x0)成 ②对一切x∈A，p(x)成立 立 ③对每一个x∈A，p(x)成立 ③对有些x0∈A，使p(x0)成立 ④任选一个x∈A，使p(x)成立 ④对某个x0∈A，使p(x0)成立 ⑤凡x∈A，都有p(x)成立 ⑤有一个x0∈A，使p(x0)成立 2.判定命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词；另外，有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断． 3．全(特)称命题真假的判断 (1)全称命题是真命题，必须确定对集合M中的每一个元素都成立，若是假命题，举一个反例即可． (2)特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少找到一个元素使得命题成立，若是假命题，则对集合M中的每一个元素都不成立． 第 4 页 共 9 页 1.4全称量词与存在量词(教师用) 一、学习目标 1、通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词． 2、了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及 判断其命题的真假性． 3、了解含有一个量词命题的否定及其写法. 二、主线问题 问题1; 下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？ （1）2x＋１是整数； (2) x＞３； (3) 如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等； （4）平行于同一条直线的两条直线互相平行； （5）2013年所有高中一年级的学生数学课本都是采用人民教育出版社A版的教科书； （6）所有有中国国籍的人都是黄种人； （7）对所有的x∈Ｒ, x＞３； （8）对任意一个x∈Ｚ，2x＋１是整数. 解：（1）、（2）不能判断真假，不是命题. （3）、(4)是命题且是真命题. （5）－（8）如果是假，如果要否定一个结论，只要举出一个反例就行. 注：对于（5）－（8）最好是引导学生将反例用命题的形式写出来。因为这些命题的反例涉及到“存在量词”“特称命题”“全称命题的否定”这些后续内容。（5）的真假就看命题：海师附中今年存在个别（部分）高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书；这个命题的真假，该命题为真，所以命题（5）为假；命题（6）是假命题．事实上，存在一个（个别、部分）有中国国籍的人不是黄种人． 命题（7）是假命题．事实上，存在一个（个别、某些）实数（如x＝2）， x＜３．（至少有一个x∈Ｒ, x≤３） 命题（8）是真命题。事实上不存在某个x∈Ｚ，使2x＋１不是整数。也可以说命题：存在某个x∈Ｚ使2x＋１不是整数，是假命题． 问题2 ：命题（5）－（8）跟命题（3）、（4）之间有什么关系? 命题（5）－（8）跟命题（3）、（4）有些不同，它们用到 “所有的”“任意一个” 这样的词语，这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部，这样的词叫做全称量词，用符号“?”表示 全称量词 日常生活和数学中所用的“一切的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，“凡”，“都”等词可统称为全称量词，表示个体域里的所有个体。 全称命题 含有全称量词的命题，叫做全称命题。 通常将含有变量x的语句用p（x），q（x），r（x），……表示，变量x的取值范围用M表示. 全称命题“对M中任意一个x，都有p（x）成立”可用符号简记为：?x?M, p（x），读做“对任意x属于M，有p（x）成立”. ★Ⅰ 要判定全称命题“? x∈M, p(x) ”是真命题，需要对集合M中每个元素x, 证明p(x)成立；如果在 集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题 问题3 ： 刚才在判断命题（5）－（8）的真假的时候，我们还得出这样一些命题： （5）存在个别高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书； 第 5 页 共 9 页 ，