目标函数为
n
?
?max∑(ri?pi)xi
?i=0
?minmax{qx}
ii?
约束条件为
?n
?∑(1+pi)xi=M ?i=0
?x≥0,i=0,1,L,n?i
4． 模型简化
a) 在实际投资中，投资者承受风险的程度不一样，若给定风险一个界限a，使最大的一个风险
qixi
≤a，可找到相应的投资方案。这样把多目标规划变成一个目标的线M
n
性规划。
模型一 固定风险水平，优化收益
max
∑(r?p)x
i
i
i
i=0
?qixi
≤a?M?
s.t. ?n
?∑(1+pi)xi=M,??i=0
xi≥0,i=0,1,L,n
b) 若投资者希望总盈利至少达到水平k以上，在风险最小的情况下寻求相应的投
资组合。
模型二 固定盈利水平，极小化风险 min{max{qixi}}
?n
?∑(ri?pi)xi≥k?i=0
s.t. ?n
?(1+p)x=M,∑ii?i=0?
xi≥0,i=0,1,L,n
c) 投资者在权衡资产风险和预期收益两方面时，希望选择一个令自己满意的投资
组合。因此对风险、收益分别赋予权重s（0 模型三 mins{max{qixi}}?(1?s) s.t. ∑(r?p)x i i i=0 n i ∑(1+p)x i i=0 n i =M, xi≥0,i=0,1,2,L,n 5.4 模型一的求解 模型一为： minf=(?0.05,?0.27,?0.19,?0.185,?0.185)(x0,x1,x2,x3,x4) -11- T ?x0+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x4=1?0.025x≤a 1? ??0.015x2≤a s.t. ? ?0.055x3≤a?0.026x4≤a???xi≥0(i=0,1,L,4) 到底怎样没有一个准则，不同的投资者有不同的风险由于a是任意给定的风险度， 度。我们从a=0开始，以步长Δa=0.001进行循环搜索，编制程序如下： clc,clear a=0; hold on while a<0.05 c=[-0.05,-0.27,-0.19,-0.185,-0.185]; A=[zeros(4,1),diag([0.025,0.015,0.055,0.026])]; b=a*ones(4,1); Aeq=[1,1.01,1.02,1.045,1.065]; beq=1; LB=zeros(5,1); [x,Q]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB); Q=-Q; plot(a,Q,'*r'); a=a+0.001; end xlabel('a'),ylabel('Q') 5.5 结果分析 1. 风险大，收益也大。 2．当投资越分散时，投资者承担的风险越小，这与题意一致。即： 冒险的投资者会出现集中投资的情况，保守的投资者则尽量分散投资。 3．在a=0.006附近有一个转折点，在这一点左边，风险增加很少时，利润增长很快。在这一点右边，风险增加很大时，利润增长很缓慢，所以对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择曲线的拐点作为最优投资组合，大约是a=0.6%，Q=20%，所对应投资方案为： 风险度a=0.006，收益Q=0.2019，x0=0，x1=0.24，x2=0.4，x3=0.1091， x4=0.2212。 习 题 一 1．试将下述问题改写成线性规划问题： mm ??m?? max?min?∑ai1xi,∑ai2xi,L,∑ainxi?? xi i=1i=1?i=1??? ?x1+x2+L+xm=1 st.? x≥i=m0,1,L,?i 2．试将下列问题改写成线性规划问题： -12- max z=∑cj|xj| j=1 n ?n ?∑aijxj=bi(i=1,2,L,m) st.?j=1 ?x取值无约束?j 3．线性回归是一种常用的数理统计方法，这个方法要求对图上的一系列点(x1,y1),(x2,y2),L,(xn,yn)选配一条合适的直线拟合。方法通常是先定直线方程为 y=a+bx，然后按某种准则求定a,b。通常这个准则为最小二乘法，但也可用其他准 则。试根据以下准则建立这个问题的线性规划模型： min ∑|y i=1 n i ?(a+bxi)| 4．某厂生产三种产品I，II，III。每种产品要经过A,B两道工序加工。设该厂有两种规格的设备能完成A工序，它们以A1,A2表示；有三种规格的设备能完成B工序，它们以B1,B2,B3表示。产品I可在A,B任何一种规格设备上加工。产品II可在任何规格的A设备上加工，但完成B工序时，只能在B1设备上加工；产品III只能在A2与B2设备上加工。已知在各种机床设备的单件工时，原材料费，产品销售价格，各种设备有效台时以及满负荷操作时机床设备的费用如表2，求安排最优的生产计划，使该厂利润最大。 表2 设备 产 品 设备有效台时 I II III 5 7 6 4 7 0.25 1.25 10 9 8 0.35 2.00 12 11 0.50 2.80 6000 10000 4000 7000 4000 满负荷时的 设备费用(元) 300 321 250 783 200 A1 A2 B1 B2 B3 原料费(元/件) 单 价(元/件) 5．有四个工人，要指派他们分别完成4项工作，每人做各项工作所消耗的时间如表3。 表3 工作 工人 甲 乙 丙 丁 A B C D 15 18 21 24 19 23 22 18 26 17 16 19 19 21 23 17 问指派哪个人去完成哪项工作，可使总的消耗时间为最小？ -13- 6．某战略轰炸机群奉命摧毁敌人军事目标。已知该目标有四个要害部位，只要摧毁其中之一即可达到目的。为完成此项任务的汽油消耗量限制为48000升、重型炸弹48枚、轻型炸弹32枚。飞机携带重型炸弹时每升汽油可飞行2千米，带轻型炸弹时每升汽油可飞行3千米。又知每架飞机每次只能装载一枚炸弹，每出发轰炸一次除来回路程汽油消耗（空载时每升汽油可飞行4千米）外，起飞和降落每次各消耗100升。有关数据如表4所示。 表4 要害部位 1 2 3 4 离机场距离 （千米） 450 480 540 600 摧毁可能性 每枚重型弹 每枚轻型弹 0.10 0.08 0.20 0.16 0.15 0.12 0.25 0.20 为了使摧毁敌方军事目标的可能性最大，应如何确定飞机轰炸的方案，要求建立这个问 题的线性规划模型。 7．用Matlab求解下列线性规划问题： maxz=3x1?x2?x3 ?x1?2x2+x3≤11??4x+x+2x≥3?123 s.t. ? xx21?+=13???x1,x2,x3≥0 8．用Matlab求解下列规划问题： minz=|x1|+2|x2|+3|x3|+4|x4| s.t. x1?x2?x3+x4=0 x1?x2+x3?3x4=1 1 x1?x2?2x3+3x4=? 2 9．一架货机有三个货舱：前舱、中仓和后舱。三个货舱所能装载的货物的最大重量和体积有限制如表5所示。并且为了飞机的平衡，三个货舱装载的货物重量必须与其最大的容许量成比例。 表5 货舱数据 前舱 中仓 后舱 重量限制（吨） 10 16 8 体积限制（立方米） 6800 8700 5300 现有四类货物用该货机进行装运，货物的规格以及装运后获得的利润如表6。 表6 货物规格及利润表 重量（吨） 空间（立方米/吨） 利润（元/吨） 货物1 18 480 3100 货物2 15 650 3800 货物3 23 580 3500 货物4 12 390 2850 -14- 假设： （1）每种货物可以无限细分； （2）每种货物可以分布在一个或者多个货舱内； （3）不同的货物可以放在同一个货舱内，并且可以保证不留空隙。 问应如何装运，使货机飞行利润最大？ -15-