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A. 16 B. 14 C. 16或14 D. 16或9 5. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，AE⊥AD，交CB的延长线于点E，则下列结论正确的是__________ A. △AED∽△ACB B. △AEB∽△ACD C. △BAE∽△ACE D. △AEC∽△DAC 三、解答题： 1. 如图，AD∥EG∥BC，AD=6，BC=9，AE：AB=2：3，求GF的长。 2. 如图，△ABC中，D是AB上一点，且AB=3AD，∠B=75°，∠CDB=60°， 求证：△ABC∽△CBD。 3. 如图，BE为△ABC的外接圆O的直径，CD为△ABC的高， 学高为师、身正为范！ 专注个性化教育
求证：AC·BC=BE·CD 4. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，过点C作CE⊥AD于E，CE的延长线交AB于点F，过点E作EG∥BC交AB于点G，AE·AD=16，AB?45， （1）求证：CE=EF （2）求EG的长 答案： 例一：这是两道与比例有关的题目，都比较简单。 （1）应填600 （2）应填14.4。 DEAD?， BCBD故应选C。利用平行线分线段成比例定理及推论求解时，一定要分清谁是截线、谁是被截 DE线，C中很显然是两平行线段的比，因此应是利用三角相似后对应边成比 BCDEADAE例这一性质来写结论，即?? BCABAC例三：∵△ABC是等边三角形 ∴∠C=∠B=60° 又∵∠PDC=∠1+∠APD=∠1+60° ∠APB=∠1+∠C=∠1+60° ∴∠PDC=∠APB 例二：由DE∥BC，EF∥AB可知，A、B、D都正确。而不能得到学高为师、身正为范！ 专注个性化教育
∴△PDC∽△APB 设PC=x，则AB=BC=1+x 2x ∴?3，∴x?2， 1?x1 ∴AB=1+x=3。 ∴△ABC的边长为3。 例四：因为△AEF、△CEA有公共角∠AEF 故要证明△AEF∽△CEA 只需证明两个三角形中，夹∠AEF、∠CEA的两边对应成比例即可。 证明：（1）∵四边形ABEG、GEFH、HFCD是正方形 ∴AB=BE=EF=FC=a，∠ABE=90° ∴AE?2a，EC?2a ∴ ∴AE2aEC2a??2，??2 EFaAE2aAEEC ?EFAE 又∵∠CEA=∠AEF ∴△CEA∽△AEF （2）∵△AEF∽△CEA ∴∠AFE=∠EAC ∵四边形ABEG是正方形 ∴AD∥BC，AG=GE，AG⊥GE ∴∠ACB=∠CAD，∠EAG=45° ∴∠AFB+∠ACB=∠EAC+∠CAD=∠EAG ∴∠AFB+∠ACB=45° 例五：∵AD∥EF∥BC OEAEOEEB ∴ ?，?BCABADABOEOEAEEBAB ∴?????1 BCADABABAB111 ∴ ??BCADOE111?? 同理： BCADOF11? ∴ OEOF ∴OE=OF 从本例的证明过程中，我们还可以得到以下重要的结论： 111?? ①AD∥EF∥BC? ADBCOE1 ②AD∥EF∥BC?OE?OF?EF 2111?? ③AD∥EF∥BC? ADBCOE学高为师、身正为范！ 专注个性化教育
?11EF2?2 OF112 ??ADBCEF 这是梯形中的一个性质，由此可知，在AD、BC、EF中，已知任何两条线段的长度，都可以求出第三条线段的长度。 例六：在△ABD和△ADE中， ∵∠ADB=∠AED=90° ∠BAD=∠DAE ∴△ABD∽△ADE ABAD ∴ ?ADAE ∴AD2=AE·AB 同理：△ACD∽△ADF 可得：AD2=AF·AC ∴AE·AB=AF·AC 例七：在△ADC和△BAC中 ∵∠CAD=∠B，∠C=∠C ∴△ADC∽△BAC ADDCAC ∴ ??ABACBC 又∵AD=6，AD=8，BD=7 DCAC3 ∴?? AC7?DC4 即?DC3???AC4 即? ?AC?3??7?DC4 解得：DC=9 例八：在矩形ABCD中，AD=BC， ∠ADC=∠BCE=90° 又∵E是CD的中点，∴DE=CE ∴Rt△ADE≌Rt△BCE ∴AE=BE ∵FG∥AB AEAG? ∴ BEBF ∴AG=BF 在Rt△ABC中，BF⊥AC于F ∴Rt△BFC≌Rt△AFB ∴BF2=AF·FC ∴AG2=AF·FC 例九：延长BA、CD交于点P 学高为师、身正为范！ 专注个性化教育
∵CH⊥AB，CD平分∠BCD ∴CB=CP，且BH=PH ∵BH=3AH ∴PA：AB=1：2 ∴PA：PB=1：3 ∵AD∥BC ∴△PAD∽△PBC ∴S△PAD：S△PBC?1：9 ∵S△PCH?1S△PBC 2 ∴S△PAD?S四边形AHCD?2：7 ∵S四边形AHCD?21 ∴S△PAD?6 ∴S△PBC?54 1S?27 2△PBC巩固练习参考答案 一、填空题： 1. 19：13 2. 24 4. 6 5. 12 ∴S△HBC?3. 3；1：4 2等。 2 6. 只要是使得其中两个数的比值等于另外两个数的比值即可，如：22、 7. 14.4 8. 166 4. D 5. C 二、选择题： 1. C 2. D 3. B 三、解答题： 1. 解：∵AD∥EG∥BC EGAE ∴在△ABC中，有 ?BCABEFBE 在△ABD中，有 ?ADAB ∵AE：AB=2：3 ∴BE：AB=1：3 21 ∴EG?BC，EF?AD 33 ∵BC=9，AD=6 ∴EG=6，EF=2 ∴GF=EG－EF=4 2. 解：过点B作BE⊥CD于点E， ∵∠CDB=60°，∠CBD=75° ∴∠DBE=30°， ∠CBE=∠CBD－∠DBE=75°－30°=45° ∴△CBE是等腰直角三角形。