3.6正弦函数、余弦函数的图像和性质
教学目标：
1．会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数的图像，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图像；
2.简化正弦、余弦函数的绘制过程，会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的简图；
3．了解周期函数与最小正周期的意义，会求y=Asin(ωx+ψ)的周期；
4．通过正弦、余弦函数图像理解正弦函数、余弦函数的性质，培养学生的数形结合的能力。
教学重点：正弦函数、余弦函数的图象形状及其主要性质（包括定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性）
教学难点：1.利用正弦线画出函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象； 2.利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线； 3.周期函数与（最小正）周期的意义。 教学过程：
一、复习引入：
1.引进弧度制以后，y=sinx和y=cosx都可以看做是定义域为(-∞,+∞)的实变量函数。作为函数，我们首先要关注其图像特征。本节课我们一起来学习作正、余弦函数图像的方法。
2.复习正弦线、余弦线的概念
前面我们已经学习过三角函数线的概念及作法，请同学们回忆一下什么叫正弦线？什么叫余弦线？
设任意角α的终边与单位圆相交于点P（x，y），过点P作x轴的垂线，垂足为M，则有向线段MP叫做角α的正弦线，有向线段OM叫做角α的余弦线。
二、讲解新课： （下面我们就利用正弦线来画正弦函数的图像。） 1.几何法作图（边画图边讲解）
我们先作
在
上的图像，具体分为如下五个步骤：
a．在直角坐标系的x轴左半轴上任取一点O1,以O1为圆心作单位圆．
b．从单位圆与x轴的交点A起,把单位圆分成12等份（等份越多，画出的图像越精确）．过单位圆上的各分点作 轴的垂线，可以得到对应于0， ， ， ，?角的正弦线.
c．找横坐标：相应地把x轴上从0到2π（ ）这一段分成12等份. d．找纵坐标：将角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合． e．连线：用平滑的曲线将平移后得到的这12个点依次连接起来，就得到了函数 ， 的图像．
可以看出这种方法作三角函数图象是比较精确的，我们称之为几何法。
2.作正弦曲线y=sinx，x∈R的图像
提问：我们作出了正弦函数在区间[0,2π]上的图象，但正弦函数对任意角均有函数值，即定义域为实数集R.如何作在其他区间上的函数图象呢？
由终边相同的角的三角函数值相等知：在区间(2π,4π]上其函数图象与在[0,2π]上是一样的，在[-2π,0)上也一样，在其他区间上也是一样。也就是说每隔2π正弦函数的图象就出现一次重复，如此充满整个实数轴。 说明：正弦函数的图象叫做正弦曲线。
3.五点法作 ， 的简图
师：在作正弦函数 ， 的图像时，我们描述了12个点，但其中起关键作用的其实只有五个点，你能依次指出它们的坐标吗？
事实上，只要找出这五个点， 函数y=sinx,x∈[0,2π]的图像形状就基本确定了.因此,在精确度要求不太高时,我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连结起来，就得到函数的简图，这种作图的方法称为“五点法”作图．
4.用变换法作余弦函数y=cosx,x∈R的图像
正弦函数的图象已经得到了，那余弦函数的图象是怎样的？我们知道，正余弦函数有着十分密切的关系，正弦可以通过一些诱导公式转化为余弦，因此我们猜想它们的图象也应该有着某种联系。那么如何将余弦函数y=cosx转化为正弦函数呢？
?由此可见：函数y=cosx与函数y?sin(?x)是同一个函数，因此它们的图象
2?应该是一样的。可是y?sin(?x)的图像又是什么样子的呢?下面我们先来思考一
22
下这个问题:观察函数y=x与y=(x＋1)2 的图象，你能发现这两个函数的图象有什么内在联系吗？
?也就是说，余弦函数的图象可以由正弦曲线向左平移个单位得到。（电脑演
2示，将正弦曲线进行平移）余弦函数的图象叫做余弦曲线。
同样在[0，2π]上的余弦曲线上哪几个点起关键作用？相反通过这五个点,也可以画出函数y=cosx,x∈[0,2π]的简图。
三、讲解范例：（下面我们来尝试用五点法画简图）
例1． 画出下列函数的简图：
（1） ， ； （2） ， ． 观察函数 与 的图像之间有何联系？
，
与
，
的图像又有何联系？
小结：五点作图法最常用，要牢记五个关键点的选取特点． 四、探究性质
学习完正弦、余弦函数图象的作图法，下面我们再来研究正弦函数、余弦函数的一些性质。同学们回想一下，研究一个函数常要研究它的哪些性质？【定义域、值域，单调性、奇偶性等等】
1.定义域、值域
很好，那我们就先来探索 ， 的两条最基本的性质——定义域、值域。
请同学看投影，大家仔细观察一下正弦、余弦曲线的图像，思考以下几个问
题：（1）正弦、余弦函数的定义域是什么？（ppt） （2）正弦、余弦函数的值域是什么？ （3）他们最值情况如何？
【注：从图像可以看出，正弦、余弦曲线都分布在两条平行线y?1和y??1之间，所以正、余弦函数的值域都是［－1，1］】
例2．求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么。
（1） 解：（1）当
， ，即
； （2）
（
， ）时，
； 取得最大值
∴函数的最大值为2，取最大值时 的集合为 （2）当值
∴函数的最大值为1，取最大值时 的集合为
时，即 （
）时，
取得最大
2.奇偶性
（1）什么叫奇函数？（关于原点对称）什么叫偶函数？（关于y轴对称） （2）由诱导公式可知，sin(－x)=－sinx ∴y=sinx为奇函数 cos(－x)=cosx ∴y=cosx为偶函数 3.周期性（观察图象）
1?正弦函数、余弦函数的图象是有规律不断重复出现的；
2?规律是：每隔2?重复出现一次
3?这个规律由诱导公式sin(2k?+x)=sinx, cos(2k?+x)=cosx也可以说明。
像这样，我们就说正弦函数和余弦函数具有周期性，具有周期性的函数称为周期函数。周期函数如何定义呢？
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期 由此可知，2π，4π，??，－2π，－4π，??2kπ(k∈Z且k≠0)都是正弦函数和余弦函数的周期。事实上，任何一个常数2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期。对于一个周期函数，如果在它所有的周期中，存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期。例如正余弦函数的最小正周期就是2π。今后如不加特别说明，周期即指最小正周期。
例3．求下列函数的周期：
（1） y=3cosx，x∈R； （2）y=sin2x，x∈R； （3）y?2sin(1?x?),x?R 26
小结：从例3可以发现，这些函数的周期只与自变量x的系数有关，其规律如何？一般地，对于函数y?Asin(?x??),x?R与y?Asin(?x??),x?R（其中A，ω，ψ为常数，且A≠0，ω>0）的周期为T?2??。根据这个结论，我们可以由这类函
数的解析式直接写出函数的周期。如例3中（1）（2）（3）小题的周期分别为
2?12?,??,2???4?。
22
4.单调性（通过观察图形让学生回答）
??从正弦曲线可以看出：当x由－增大到时,曲线上升，函数值从－1增大
22到1。我们就说函数y=sinx在此区间上为增函数，又由正弦函数的周期性可知，
??正弦函数在每个区间[??2k?,?2k?]（k∈Z）上为增函数。
223??当x由增大到时，曲线下降，函数值从1减小到－1。同理，在每个区
22?3??2k?]（k∈Z）上为减函数。 间[?2k?,22类似地，y=cosx的单调区间为:[(2k?1)?,2k?]（k∈Z）上是增函数.[2k?,(2k?1)?]（k∈Z）上是减函数.
例4．不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0：
（1）sin(??18)?sin(??10)； （2）cos(?2317?)?cos(??). 54说明：1、此题实质是根据函数的单调性比较函数值的大小，也可以通过图象来判断；
2、在角度（自变量）比较简单时，可以直接找单调区间；若比较复杂，则可以
通过诱导公式将角度化得简单后再比较。
四、全课总结： ?