用特殊化思想巧解高考选择题
广西上思县上思中学
(文)王春雷（中学二级教师） (评注)凌旭球（中学特级教师）
如果对于一般条件A，命题成立，那么对于一般条件A中的特殊条件、具体问题，命题也应成立。据此，对一些较为抽象或一般规律又无显露的数学问题，尤其是答案相对唯一的选择题，可以采用抽象问题具体化、一般问题特殊化的方法来验证，而无需作费时费力的严格推证，从而避免“小题大做”，以降低难度，尽快确定正确答案。这种解题思路就是所谓的数学解题中的特殊化思想。本文拟就如何运用特殊化思想巧解高考选择题例举如下：
一、抓住特殊因素，寻求解题思路。
某些数学问题，有时难以识别它属于我们所熟悉的哪一类常规问题，或虽有常规方法，但解法将不胜其烦。对于这类问题，应着眼于问题本身的特殊性，紧紧抓住一、两个重要的特殊因素，并以此作为突破口，去探求解题思路。
例1-1(1997年全国高考)定义在区间(??,??)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0,??)的图象与f(x)的图象重合。设a?b?0，给出下列不等式：
①f(b)?f(?a)?g(a)?g(?b) ②f(b)?f(?a)?g(a)?g(?b) ③f(a)?f(?b)?g(b)?g(?a) ④f(a)?f(?b)?g(b)?g(?a) 其中成立的是( )：
A、①④ B、②③ C、①③ D、②④
解：特取f(x)?x，g(x)?|x|，则f(x)、g(x)满足题目条件。设a?2,b?1，代入验证易知，①、③成立，故选C。
评注：本例据抽象函数的性质和特征，从满足条件的特殊函数(特殊值)入手分析探求，寻求出问题的解题思路和结论。
例1-2(2001年全国高考)设f(x)、g(x)都是单调函数，有如下四个命题：
①若f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)?g(x)单调递增 ②若f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)?g(x)单调递增 ③若f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)?g(x)单调递减 ④若f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)?g(x)单调递减 其中正确的命题是( )
A、①③ B、①④ C、②③ D、②④ 解：特取f(x)?g(x)?x，知命题①错，排除A，B
特取 f(x)?g(x)??x，知命题④错，排除D，从而选C。
评注：本题从发现符合条件的特殊例子(有时是特殊数值)入手，借用特殊解决一般，收到事半功倍之效。
例1-3：(1999年全国高考)函数f(x)?Msin(?x??)(??0)在区间[a,b]上是增函数，且f(a)??M,f(b)?M,则函数
f(x)?Mcos(?x??)在区间[a,b]上是( )
A、增函数 B、减函数
C、可以取得最大值M D、可以取得最大值?M 解：不妨取M?1,??1,??0,[a,b]?[???,]，得f(x)?sinx,g(x)?cosx，画出函数图象，即知选C。 22评注：对于条件或结论是一般性的三角题，通常取特例(即考虑特殊角、特殊三角函数)进行验算解答，可以起到以特殊估一
般之效。
二、巧用特殊因素，优化解题方案。
对有些外形貌似熟题的数学问题，如果轻易套用常规方法，则会加大计算量，甚至无法求出结果，此时，应巧妙地运用特殊因素，寻求最优方案，方能收到事半功倍之效。
例2-1(2001年全国高考)若定义在区间(?1,0)内的函数f(x)?log2a(x?1)满足f(x)?0，则a的取值范围是( ) A、(0,) B、(0,] C、(,??) D、(0,??) 解：特取a?1,x??1212121111时，f(?)?log2??1?0,可排除C、D；而当a?时，f(x)无意义，故选A。 22221评注：本例常规解法是：由于?1?x?0，知0?x?1?1，则由对数函数性质得0?2a?1，即0?a?，故选A。然而
2这里运用了特殊值求解，更显方法之优。
例2-2（2002年全国高考）已知0?x?y?a?1，则有（ ）
A、logaxy?0 B、0?logaxy?1 C、1?logaxy?2 D、logaxy?2 解：特取x?111111,y?,a?，则logaxy?log1(?)?log1()5?5?2
28284242所以应选D。
评注：对于某些只需比较大小的题目而言，若用常规方法来解（或证明），有时会不胜其烦，但若巧取特殊值（如：0?x?1时可取x?1，x?y?1时可取x?4,y?2等等）则会大大优化解题过程。 2例2-3(2001年北京春季高考)根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的几个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足Sn?n(21n?n2?5)(n?1,2,3,?,12)。按此计算，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是( ) 90A、5月、6月 B、6月、7月 C、7月、8月 D、8月、9月 解：设月的需求量为an，由备选项可取n?6,n?7,则a6?S6?S5?1.5，
a7?S7?S6?1.5，由此可排除A、B、D，故选C。
评注：本例从题设结构入手，巧取特殊项，从而减少运算量，简化了解题过程。
三、分析特殊因素，发现一般规律
对一些较为抽象的数学问题，一般规律又无显露，此时，可利用特殊因素来探路，进而发现规律，得出正确结论。 例3-1：（2001年全国高考）一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜。记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3。若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则 (A)P3=P2>P1 (B)P3>P2=P1
(C)P3>P2>P1 (D)P3=P2=P1
解：令??0，即可知选D。
图3-1
评注：由射影面积公式
（ S射＝S斜?cos?）可知：S射与斜面
和水平面所成角?有关，而与斜面内图形形状及图形放置无关。本例抓住“所成角都是?”及“射影面积（民房面积）不变”，取特值??0，将三种不同的房盖均变成平房盖，而同一间民房的房盖面积（即射影面积）全部相等，从而得解。
例3-2：(1999年全国高考)如图3-21，在多面体3的正方形，EF//AB,EF?EFABCDEF中，已知面ABCD是边长为
C3，EF与面AC的距离2ADB为2，则该多面体的体积为（ ）
9 B、5 215C、6 D、
2A、
解：特取直三棱柱BCF－AGD， 如图3-22，则
图3-21 GEF1VBCF?ACD?VE?AGD?S?BCF?|AB|?S?ACD?|EG|3111315??2?3?3???2?3?? 23222故选D
ABDC 图3-22 评注：有些立体几何问题，为了考查考生的辨别能力，故意将有规则的几何图形改造为不规则的图形。对此，我们可用“割补法”补成规则图形或将图形规则化、特殊化，从而使问题化解。
由此可知，众多数学问题具备各自的特殊性，若能充分挖掘隐藏于数学问题中或与之相关的特殊值、特殊式、特殊点(线、面)、特殊位置、特殊关系?，就能巧妙地利用这些特殊因素使问题得以顺利求解。
总评：数学充满着辩证法，一般性往往寓于特殊性之中。解决数学问题时，将一般问题特殊化和将特殊问
题一般化是常用的两种策略。
数学思想是对数学知识和方法的本质认识，是数学中的精髓，是联系各类数学知识的纽带，掌握它并能加以灵活运用，就可以巧妙地解题。对学生作必要的数学思想方法在解题中的运用的指导，使学生走出模仿或传统学习的境地，能动地、创造性地学习，是大有脾益的。因为数学思想方法在学习的全过程和考试中都发挥着重要的作用。