这就得到了例１的最优解对应的点Q2,Q2点的坐标为(4,2).于是可计算出
满足所有约束条件的最大值z?14．
这说明该厂的最优生产计划方案是：生产４件产品Ⅰ，生产２件产品Ⅱ，可得最大利润为14元．
【拓展延伸探究】
例2预算有2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数量尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子和椅子各购买多少？
[分析]这是生活实际中的一个物资采购问题，可归结为线性规划问题，利用图解法进行求解。
[解]设桌子和椅子各购买x、y张，则x、y必须满足线性约束条件
?50x?20y?2000?x?y? ??x,y?0??x,y?N
其目标函数z=x+y。
20?x?,??7??x?y,200200?y?200.(，)??50x?20y?2000,7?77。 由?解得故图14中点A的坐标为
?x?25??y?1.5x?7575y?(25，)??50x?20y?20002?2由?解得故图中点B的坐标为。
满足以上条件的可行域为如图所示的阴影部分（包括边界和内部），以A、B、
O为顶点三角形区域。
动直线z=x+y表示斜率为－1，在y轴上的截距为z的直线，如图所示的虚
75y?2。 线，当动直线运动到如图所示的B点时，z的取值最大，此时x=25，
但由于x、y的取值均为整数，故y应取37，即购买25张桌子、椅子37张，
是最优选择。
6
75(25，)2后，显然它不满足点悟：由于本题是一个实际问题，当求得最优解
题意，故应取最优解的近似值，这便是实际问题与一般的非应用问题的最大区别。
在实际问题中椅子必须是整数，所以x=25,y=37。
3.3 用单纯元法解两个变量的线性规划问题
例3：某车间生产甲、乙两种产品，已知制造一件甲产品需要Ａ种元件５个,Ｂ种元件３个；制造一件乙产品需要Ａ种元件２个，Ｂ种元件３个.现因某种条件限制,只有A种元件180,B种元件135个；每件甲种产品可获利20元, 每件乙种产品可获利15元.试问在这种条件下,应该生产甲、乙两种产品各多少件才能得到最大利润?
解: 设应该生产甲产品x1件,乙产品x2件,才能得到最大利润S元.根据题意,此问题可用数学模型表示为:
目标函数 S?20x1?15x2
?5x1?2x2?180? 满足约束条件 ?3x1?3x2?135
?x,x?02?1
S?20x1?15x2?0x3?0x4?5x1?2x2?x3?180将上述问题化成标准形式： ?
3x?3x?x?135?124?x,x,x,x?0?1234添加的松弛变量x3和x4在约束方程组中其系数列正好构成一个2阶单位阵，它们可以作为初始基变量，初始基可行解为X=（0, 0, 180,135）’
表1
15 cj→ 20 0 0 CB 基 b x1 x2 x3 x4 180 X3 [5] 2 1 0 0 130 X4 3 3 0 1 5 cj-zj 0 20 15 -0 0 由于只有σ2> 0，说明表中基可行解不是最优解，所以确定x1为换入非基变量；以x1的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量作为换出的基变量。
??min(180135,)?36 537
因此确定5为主元素（表1中以防括号[]括起），意味着将以非基变量x2去置换基变量x6，采取的做法是对约束方程组的系数增广矩阵实施初等行变换，将
TT
x1的系数列(20,15)变换成x3的系数列(0,1)，变换之后重新计算检验数。变换结果见表2
表2
15 cj→ 20 0 0 CB 基 b x1 x2 x3 x4 0 0 X3 X4 cj-zj 36 27 1 0 0 表3
2/5 [9/5] 7 1/5 -3/5 -4 0 1 0 -720 再按上述方法可得表3 cj→ CB 0 0 基 b 30 15 20 x1 1 0 15 x2 0 1 0 x3 3/5 -1/5 0 x4 -2/9 5/9 X3 X4 cj-zj -80 0 -1/5 -7 89 此时，2个非基变量的检验数都小于0，σ3= -1/5，σ4= -7，表明已求得最*TX?(30,15,0,0)优解：。去除添加的松弛变量，原问题的最优解为：
X*?(30,15)T,最打值为20*30+15*15=825。
若企业在生产、运输、市场营销等方面，没有很好地利用线性规划进行合理的配置，往往会导致增加了企业的生产，使企业的利润不能达到最大化，使得资源浪费。在竞争日益激烈的今天，如果还按照这种方式，是难以生存的。所以更好地利用线性规划，让它在实践生活中真正帮助到我们去解决遇到的各种问题，求得最大的利润或最小消耗等问题的最优解。随着作为运筹学重要分支的线性规划的发展，我们已看到运用线性规划的必要性和重要性。
[1]胡运权.郭耀煌.运筹教程第四版.清华大学出版社2012.11 [2]线性规划导论[M].谢金星,姜启源,张立平等译
[3] 运筹学教材编写组，运筹学.北京:清华大学出版社，2005.6
[4] 王凤岐 黄田，现代设计方法及其应用，天津：天津大学出版社，2008 [5] 宁宣熙，运筹学实用教程[M ]. 北京：科学出版社，2003.
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