31?3?2?1?3＝45. 次击中，第三次必击中，故所求概率为P＝??3??2＋C12?4??4??4??4?1 024
命题角度三 离散型随机变量分布列及其数学期望
[命题要点] (1)离散型随机变量分布列；(2)求数学期望．
【例3】? (2012·南师附中模拟)甲、乙、丙三个 同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取)，两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6,0.5 ,0.4，能通过面试的概率分别是0.5，0.6,0.75.
(1) 求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；
(2)设经过两次考试后，能被该高校预录取的人数为ξ，求随机变量ξ的期望E(ξ)． [审题视点] [听课记录]
[审题视点] (1)由题意可得，甲、乙、丙三个同学笔试合格这三个事件是相互独立的，再结合互斥事件的概率可得到结果．
(2)先得到ξ的取值为0,1,2,3，再确定各概率值，求期望．
解 (1)甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试包括三种情况，这三种情况是互斥的，分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件A1、A2、A3；
E表示事件“恰有一人通过笔试”．
由互斥事件的概率和相互独立事件同时发生的概率得到P(E)＝0.6×0.5×0.6＋0.4×0.5×0.6＋0.4×0.5×0.4＝0.38.
(2)分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件A，B，C， 则P(A)＝P(B)＝P(C)＝0.3.
由题意知变量ξ可能的取值是0,1,2,3， 结合变量对应的事件写出分布列， ∴P(ξ＝0)＝0.73＝0.343，
P(ξ＝1)＝3×(1－0.3)2×0.3＝0.441， P(ξ＝2)＝3×0.32×0.7＝0.189， P(ξ＝3)＝0.33＝0.027.
∴E(ξ)＝1×0.441＋2×0.189＋3×0.027＝0.9.
求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，
确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算．
【突破训练3】 在研究性学习小组的一次活动中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学被随
机地分配承担H、I、J、K四项不同的任务，每项任务至少安排一位同学承担．
(1)求甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率；
(2)设这五位同学中承担H任务的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)． A41
解 (1)设甲、乙两人同时承担同一项任务为事件B，那么P(B)＝244＝，
C5A4109
所以甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率是P(B)＝1－P(B)＝.
10(2)随机变量ξ可能取的值为1,2.
事件“ξ＝2”是指有两人同时承担H任务，
3C215A3
则P(ξ＝2)＝24＝，
C5A44
3
P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝2)＝.
4所以，ξ的分布列是
ξ P 315
所以E(ξ)＝1×＋2×＝. 444
19．概率问题中必须突破的两个关键点
一、分拆事件时一定要做到“不重不漏”．
【例1】? 在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题. 规定每位考生必须且只须1
在其中选做一题. 设4名考生选做这两题的可能性均为.求其中甲 、乙二名学生选做同一
2道题的概率．
解 设事件A表示“甲选做第21题”，事件B表示“乙选做第21题”，则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“AB＋A B”，且事件A，B相互独立，
111??1?1
∴P(AB＋A B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝×＋?1－×1－＝. 22?2??2?2
老师叮咛：甲、乙二名学生选做同一道题是指同时选第21题或22题，因此设事件A表示“甲选做第21题”，事件B表示“乙选做第21题”，则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“AB＋A B.
二、搞清随机变量每个取值对应的随机事件并准确计算
【例2】? 某校要举行一次演讲比赛，比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，已知211
某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是，，，且各阶段通过与否相互独立．设该选
334
1 3 42 1 4手在比赛中比赛的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
解 (1)记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B，“该选手通过211
决赛”为事件C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
334
ξ可能取值为1,2,3.
21
P(ξ＝1)＝P(A)＝1－＝，
33
21?4
P(ξ＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝×?1－＝，
3?3?9212
P(ξ＝3)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
339ξ的分布列为：
ξ P 1 1 32 4 93 2 914217ξ的数学期望E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝. 3999
老师叮咛：搞清随机变量每个取值对应的随机事件和每个随机事件包含的各种情况，对概率类型的准确判定与转化是解题的基础和关键，准确计算是解题的根本，因此在备考中要多下功夫，养成思维严密、转换灵活、计算无误的好习惯.