数理逻辑练习
一、证明下面推理
1） 前提：p→(q→(s∧r)),┐s∧p 结论：?q
2） 前提：?x(F(x)∨G(x))，┐?x(G(x)∧R(x))，?xR(x)
结论：?x(F(x))
3) 前提：?x(F(x)→(G(a)∧H(x)))，?x F(x)
结论：?x (F(x)∧H(x))
二、在谓词逻辑中，构造下面推理的证明:
1、每个有理数都是实数，有的有理数是整数，因此有的实数是整数。
2、任何人，如果他喜欢步行，他就不喜欢乘汽车。每一个人或者喜欢乘汽车，或者喜欢骑自行车。并非每个人都喜欢骑自行车。因此，有的人不爱步行。（个体域为人类集合） 3) 如果2是偶数，则3是奇数。或者2是偶数或者2整除3，结果2整除3，所以3不是奇数。
4) 如果A努力工作，那么B或C感到愉快；如果B愉快，那么A不努力工作；如果D愉快那么C不愉快。所以，如果A努力工作，则D不愉快。
三、求下列命题公式的主析取范式和主合取范式，并求其成真赋值。 1） P?(Q?R) 2） (p?q)?r
3） (?p??q)?(p??q) 4） (?P∨?Q)?(P??Q)
四、求下列各公式的前束范式 1） ??x(P(x)??yQ(x,y)) 2） (?xP(x,y)??yQ(y))??zR(z)
五、构造下列命题公式的真值表，并据此说明哪些是其成真赋值，哪些是其成假赋值？ 1） P∧(Q∨R)。
2） ?(P∨Q)?(?P∧?Q)。
六、分别用真值表法和公式法判断下列命题公式的类型：
(1)(P∨Q)?(P∧Q)。
(3)(?P∨Q)∧?(Q∨?R)∧?(R∨?P∨?Q)。 (5)(Q?P)∧(?P∧Q)。
集合论练习
1.给定自然数集N的子集：A＝{1，3，7，8}，B＝{i|i＜30 }，C＝{i|i可以被3整除且0≤i≤20}。求下列集合：
(1)A∪B (2)B∩C。 (3)B－(A∪C)。 (4)B?C
2
2、已知A∪B＝A∪C，A∩B＝A∩C，请用集合恒等式证明B＝C。
3.求由数字1、2、3、4、5、6组成的四位数(每个数字都不允许重复出现)中，数字2在5前面的四位数共有多少个？
4. 求1到2500之间能被2，3，5和7中任何一个数整除的整数个数。
5、今有111人购买A,B,C三种股票，已知只买了一种股票的共75人，买了A股和B股的共有20人，买了B股和C股的共有9人，买了A股和C股的共17人，只买A股的共31人，只买B股的共23人。试求：（10分） 1） 三种股票都买的有几人？
2） 买A股、B股和C股的各几人？
关系练习
1.设A＝{1，2}，构造集合P(A)×A。
2.设R＝{<0，2>，<1，1>，<1，2>，<2，0>}，求DR、RR、R{1}、R[{1}]、R?、R{?}、R[?]和R[{?}]。
3.证明R[A∪B]＝R[A]∪R[B]。
4.设X＝{1，2，3，4}，R是X上的二元关系，R＝{<1，2>，<2，2>，<2，1>，<3，3>，<3，1>，<4，3>，<4，1> }
(1)画出R的关系图。 (2)写出R的关系矩阵。
(3)说明R是否是自反、反自反、对称、传递的。
5.令A={1,2,3};B={a,b},求R1={<1,a>,<1,b>,<2,b>,<3,a>}的关系矩阵。
6.令A={1,2,3};求R2={<1,1>,<1,3>,<2,1>,<3,2>}的关系图。
7.令F={<1,2>,<2,3>,<3,1>,<1,3>}，G={<2,1>,<2,2>,<2,3>,<1,4>}求F*G, G*F, F*F 8.设集合A={a, b, c ,d}上的二元关系R={, ,
1） 试分析指出R所具有的性质（即是否具有自反性，反自反性，对称性，反对称性，
传递性这五种性质） 2） 求R0，R2，r(R)，s(R)，t(R)的集合表达式。
9.设A=?1,2,3,4,5?，A上的等价关系R定义为：
R=??1,2?,?2,1?,?3,4?,?4,3??∪IA
画出关系图，找出所有等价类。
10.求出下列各偏序集?A,??的盖住关系COV A，画出哈斯图，找出A 的子集B1、B2
和B3的极大元、极小元、最大元、最小元。
⑴
A=?a,b,c,d,e?，
?=??a,b?,?a,c?,?a,d??a,e?,?b,e?,?c,e??d,e??∪IA B1=?b,c,d ?，B2=?a,b,c,d ?，B3=?b,c,d,e?
⑶ A=P(?a,b,c?)，?=??x,y?? x?P(A)∧y?P(A)∧x?y ? B1=??,?a?,?b??，B2=??a?,?c??，B3=??a, c?,?a,b,c??
线性代数练习
1x?0，求x。 ?211. 若0?352?1??x1?x2?x3?0?2．设齐次线性方程组?x1??x2?x3?0 只有零解， 则?满足条件？
?x?x??x?03?12
x?aa3.计算行列式
aabcdx?bcd
bx?cdbcx?d423611 22213?14. 计算行列式
1250
?120??23?1???T
5. 设A=?340?，B=?（2）|4A|. ?.求（1）AB；
?240??????121?
?123?6. 求A??221?的逆矩阵.??
?343???
7. 求下列非齐次方程组的通解
?x1??x1??2x1??3x1
?x3?x2?x2?x2?2x3?x3?x4?x4?2x4?3x4?2?1?3?5
?101???8.设A=?212?,且矩阵A,X满足AX=A+X,求矩阵X
?011???
9. ?1 设A??0?
??0
10?n11?,求A，用数学归纳法证明。?01???111??121?????10. 设A?-111,B?13-1，求(A-B)(A+B) ???????1-11???214??
11.编写矩阵乘法函数 void multi_matrix(int a[M][S],int b[S][N],int c[M][N]); 并用主函数调用，验证
12.求矩阵的秩
?17?1??20?1?????014?3?,AB??423????171310?132???201?????
??882?31??;1).A??2?22126?????11132??
13.求逆矩阵
?1?1?2?22).B???30??03210?4?20?? 6?11??001??100??,求A?11).A??020????003???21?2).A??,求A?1.??74?11,?)，2214.当?满足什么条件时， 下面的向量组线性相关：?1?(?,??2?(?,?,?)，?3?(?,?,?).
?3??4??1???????15. 已知向量?1?1，?2??，?3?0，则当?满足什么条件时，?1，?2，?3 ??????????????0??????线性相关。
16. 已知向量组?1?(1,2,3,4)，?2?(2,3,4,5)，?3?(3,4,5,6)，?4?(4,5,6,7)，则该
向量组的秩是？
17. 向量组?1?(0,4,2??，)?2?(2,3??,1)，?3?(1??,2,3)线性相关， 则实数
12121212?应满足什么条件？
?1??0??0???1?????????18. 设向量?1?0，?2?1，?3?0，则向量???1可表示为?1，?2，?3的线?????????????0???1???0???1??性组合是？
图论练习
1.判断下列各非负整数列哪些是可图化的？哪些是可简单图化的？
(1)(1，1，1，2，3)。 (2)(2，2，2，2，2)。 (3)(3，3，3，3)。 (4)(1，2，3，4，5)。 (5)(1，3，3，3)。
2.有向图D如图10-51所示：
(1)求D的邻接矩阵A。
(2)D中v1到v4长度为4的路有多少？ (3)D中v1到自身长度为3的回路有多少？ (4)D中长度为4的路数为多少？其中有几条回路？ (5)D中长度小于等于4的路有多少？其中有多少条回路？ (6)D是哪类连通图？
3. 如下图所示的赋权图表示某七个城市v1,v2,?,v7及预先算出它们之间的一些直接通信
线路造价，试给出一个设计方案，使得各城市之间能够通信而且总造价最小。
4. 如下图所示的赋权图表示某六个城市a,b,c,d,e,f及预先算出它们之间的一些直接通信线
路造价，试给出一个设计方案，使得各城市之间能够通信而且总造价最小。
a5b53c15542e6f6(1)d
5. 在二叉树中
1） 求带权为2，3，5，7，8的最优二叉树T。
2） 求T对应的二元前缀码。
6. 用Huffman算法求带权为1，2，3，5，7，9最优二叉树，并计算其权值。
7. 一棵无向树T有8个顶点，4度、3度、2度的分枝点各1个，其余顶点均为树叶，则T
中有几片树叶？ 8. 一棵树的3个4度点，4个2度点，其它的都是1度，那么这棵树的边数是多少？