图4.2 实验电路的总体框架图
非正弦周期信号可以通过Fourier分解成直流、基波以及与基波成自然倍数的高次谐波的叠加。本项研究需要设计一个高精度的带通滤波器和移相器，组成选频网络，实现方波（三角波、锯齿波）Fourier分解的原理性实验，通过相互关联各次谐波的组合实现方波（三角波、锯齿波）合成的原理性实验，还可以构建信号无畸变传输的原理性实验。
简易波形分解与合成仪由下述四个部分功能电路——周期信号产生电路、波形分解电路（滤波器）、相位调节、幅值调节与合成电路组成。其部分电路原理及功能简述如下：
2. 非正弦周期信号的分解与合成
对某非正弦周期信号f(t)，其周期为T，频率为f，则可以分解为无穷项谐波之和，即：
?2?nf(t)?c0??cnsin(t??n)?c0??cnsin(2?f0t??n)
Tn?1n?1上式表明，各次谐波的频率分别是基波频率f0的整数倍。
?例如：方波信号可以分解为:
4U?111?.? ?sin?t?sin3?t?sin5?t?sin7?t?..........??357?14U由1、3、5、7等奇次波构成，2n?1次谐波的幅度值为基波幅值的倍。只要选
2n?1?f?t??择符合上述规律的各次谐波组合在一起，便可以近似合成相应的方波。很显然，随着谐波的
增多合成后就越接近方波，但是这与方波还有一定的差距，从理论上来讲，按该方式由无穷多项满足要求的谐波就可逼近方波了。
图4.3所示为用前几项谐波近似合成1kHz的方波示意图。
a 基波分量 b 基波加三次谐波
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c 前9次谐波相加 d 近似合成的方波
图4.3 方波及其谐波
将上述波形分别画在一幅图中，可以看出它们逼近方波的过程。注意“吉布斯现象”。周期信号傅里叶级数在信号的连续点收敛于该信号，在不连续点收敛于信号左右极限的平均值。如果我们用周期信号傅里叶级数的部分和来近似周期信号，在不连续点附近将会出现起伏和超量。在实际中，如果应用这种近似，就应该选择足够多的谐波次数，以保证这些起伏拥有的能量可以忽略。
同理，只要选择符合要求的不同频率成分和相应的幅值比例及相位关系的谐波，便可近似地合成相应的三角波、锯齿波等非正弦周期波形。
3. 滤波电路的设计 (1) 通过无源电路实现
RC带通滤波器可以看作为低通滤波器和高通滤波器的串联，其电路及其幅频、相频特性如图4.4所示。
图4.4 无源带通滤波器
这时极低和极高的频率成分都完全被阻挡，不能通过；只有位于频率通带内的信号频率成分能通过。
应注意，当高、低通两级串联时，应消除两级耦合时的相互影响，因为后一级成为前一级的“负载”，而前一级又是后一级的信号源内阻。同时，所需要的信号经过RC滤波器分离后出来后，幅度都有一定衰减。实际上，两级间常用射极输出器或者用运算放大器进行隔离并放大，所以实际的带通滤波器常常是有源的。有源滤波器由RC调谐网络和运算放大器组成。运算放大器既可起级间隔离作用，又可起信号幅值的放大作用。
(2) 通过有源电路实现
通过有源低通滤波器和有源高通滤波器联级实现带通滤波器：此方法可实现带通和带阻滤波器，但因为其具有离散的实极点，因此，只适合于宽带或者品质因素极低的系统设计。
直接设计有源滤波器，可节省元器件，而且对于电路参数的选择与调整也带来了便利。 有源滤波器设计中选择运算放大器主要考虑带宽、增益范围、噪声、动态范围这四个参数。
(I) 带宽：当为滤波器选择运算放大器时，一个通用的规则就是确保它具有所希望滤波
器频率10倍以上带宽，最好是20倍的带宽。如果设计一个高通滤波器，则要确保运算放大器的带宽满足所有信号通过。
(II) 增益范围：有源滤波器设计需要有一定的增益。如果所选择的运算放大器是一个电
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压反馈型的放大器，使用较大的增益将会导致其带宽低于预期的最大带宽，并会在最差的情况下振荡。对一个电流反馈型运算放大器来说，增益取的不合适将被迫使用对于实际应用来说太小或太大的电阻。 (III) 噪声：运算放大器的输入电压和输入电流的噪声将影响滤波器输出端的噪声。在噪
声为主要考虑因素的应用里，你需要计算这些影响（以及电路中的电阻所产生热噪声的影响）以确定所有这些噪声的叠加是否处在有源滤波器可接受的范围内。 (IV) 动态范围：在具有高Q值的滤波器里面，中间信号有可能大于输入信号或者大于
输出信号。对操作恰当的滤波器来说，所有的这些信号必须能够通过而无出现削波或过度失真的情况。
目前已经有很多专业的有源滤波器设计软件如：德州仪器的FilterPro、国家半导体WEBENCH? 中的Active Filter Designer、Nuhertz Technologies的Filter Solutions等。这些软件可以根据您的设计指标要求很快的算出电路参数，很大程度上节省了开发周期。
本次实验中使用的有源带通滤波器，其参数设计建议使用TI公司的滤波器设计专用软件FilterPro。FilterPro可以对滤波器的各种详细参数进行设计，输入参数后，就可以得到滤波器的幅频特性、相频特性曲线，并且可以得到具体的电路。
(3) 比例放大器、移相器与加法器 (I) 移相器电路
考虑幅值的损失，应使得最终输入输出表达式为两个共轭复数的相除，使得模值比
为1，而使输出相对源输入产生附加相移。通过可变电阻对输出的相移进行改变，输入输出比表达式应该是R的函数，即f(R)选择图所示的电路实现移项功能。
由图4.4，联立方程组 ?Uin?U1?j?C?解得
U1 ① R3U?U1U1?Uout in ② ?R1R2Rj?CR3?2UR1 out?
Uinj?CR3?1
图4.5 0～180°移相电路 图4.6 -180～0°移相电路 若选择参数R1=R2，则表达式化简为
Uoutj?CR3?1?，其模为1。针对滤波器网络Uinj?CR3?1输出的不同频率的波形适当选择C的大小，?CR3在调节的过程中大小在1左右变动实现相移。当R3=0时，相移为π；当?CR3=∞时，相移为0，相移的变化范围可以满足
调整的需要。
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同理，如图4.5，有移为-π；
Uout?j?CR3?1，当R3=0时，相移为0；当?CR3=∞时，相?Uinj?CR3?1在此实验中，取R1?R2=10kΩ，电容选用100nF的电容，电位器选用1kΩ。可以
根据实际的情况来选择以上两种移项,其中第一种移相器的可移动相位角为0～180°，
第二种移相器的可移动相位角为-180～0°。 (II) 加法器电路
加法器可以由简单的反相加法电路构成，通过调节输入端的电位器来调整输入信号的幅度。
4. 波形合成时要调整各次谐波初始相位差
验证各高次谐波与基波之间的初始相位差是否为零，方法有二： (1) 李沙育图形法
把基波f0送入示波器的X输入，再分别把2f0,3f0?7f0次的高次谐波送入y输入，观察李沙育图形。
(2) 两波叠加法
把基波分别与2,3?7次谐波进行叠加，观察叠加结果。
注意：用此法之前必须将各高次谐波的幅值调节为基波幅值的
1，当各次谐波与基波之n间的初始相位差不为零时，需再次调节可调移相器中的电位器，微调?2，?3，??7。
七、 应用拓展
1. DDS技术
直接数字合成技术（Direct Digital Synthesizer DDS）是采用数字技术产生波形的一种频率合成技术。可以用FPGA来实现，目前也有用很多的DDS芯片（例如AD9850，AD9852，AD9854等）。
2. 音频合成技术
正弦波、三角波、锯齿波、方波、脉冲波、噪声、白噪声这些基本波形在模拟声音合成中，是电压控制振荡器与低频振荡器的发生依据。 (1) 正弦波(Sine Wave)
正弦音是最纯的音响，它只由一个力度水平均匀的单一频率构成，即只有一个基频，也就是它自已本身，而没有其他泛音。之所以称作“正弦”音，是因为在图表显示中，正弦波波形振动曲线是随三角函数正弦曲线的规律来变化的。 (2) 三角波(Triangle Wave)
三角波的形状包含两个线性阶段，所以三角波的泛音的位置会落在其奇数的地方。如果与相同频率的正弦波来作比较，三角波听起来有C,E,G,B四个音，三角波第一泛音可以明显地辨别出来，而其他泛音能量很小，因此我们经常将三角波误认为正弦波。 (3) 锯齿波(Sawtooth Wave)
锯齿波的形状类似于三角波，但锯齿波包含了奇数与偶数的泛音，只是分为正向
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(Positive Sawtooth)和反向(Negative Sawtooth)，锯齿波的声音听起来非常明亮。 (4) 方波(Square Wave)
方波的泛音只落在奇数位位置，方波有着丰富的泛音内容，因此，其产生的声音效果与正弦音形成对照，在古典工作室里被广泛应用。方波发生器不只在早期工作室里受到欢迎，由于其丰富的声音资源，后来已经成为标准的设备。 (5) 脉冲波(Pulse Wave)
将方波在时域上变化正负级长度从而带来频谱的变化，就形成了脉冲波。脉冲波与方波比较接近，都拥有丰富的泛音，因此有些教科书将两者视为一类。脉冲波的最大特点是会随着时域变化与所设定的参数来变化调整泛音数，泛音的多少取决于脉冲波形状的变化。 (6) 噪音
从客观物理现象看，噪音与乐音相比，乐音含有确定的音高，有突出的谐和的频谱，而噪音包含有理论上无限、持续的频率分布。波形不是规律的周期循环，振幅是任意无规律的波动起伏。
而从主观上看，噪声泛指听者主观不需要的一切声音。凡时对人来说不需要的声音，那怕是乐音，或本人曾经喜欢的乐音，都可能被视为噪音。当然对噪音的界定，往往主客观两者有着紧密的联系。
总之，从声音合成的角度看，噪音有着丰富的频谱内容。这就为计算机合成、加工提供了理想的材料，这尤其表现在后面介绍的减法合成中。因此，对于计算机音乐来说，噪音是电子音响合成至关重要的声音资源。 (7) 白噪声
所谓白噪声(White Noise)，是指一种声音信号，(一般是噪音)其所有频率的振幅强度与它的频率高低相对应。就是说，高频振幅相对高，低频振幅相对低。白噪声有时也称作白声，辞源上是从光学中的“白光”(White Light)一词引申而来。白光是指同时呈现所有光谱的光学现象。
纯粹的白噪声在现实物理世界中几乎是没有的，它只能通过白噪声发生器来产生。由于白噪声丰富的频谱和极大的可塑空间，它一直是计算机声音合成中非常有用的声音资源。
一个频率变化在三个八度的白噪声频谱。可以看出它的特点是随着频率的增高，其振幅能量也在增长。与此相对应的是粉噪声(Pink Noise)，它的振幅不随着频率变化，各个八度频率的振幅能量都是一样的。
八、 考核要求
1. 预习报告； 2. 实验预搭；
3. 实验验收（要求见验收表） 4. 实验报告（要求见教学计划）。
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