例6．对于人均存款与人均收入之间的关系式St????Yt??t使用美国36年的年度数据得如下估计模型，括号内为标准差：
??384.105?0.067YStt(151.105)R2
(0.011)
??19.092 3＝0.538 ?（1）?的经济解释是什么？
（2）?和?的符号是什么？为什么？实际的符号与你的直觉一致吗？如果有冲突的话，你可以给出可能的原因吗？
（3）对于拟合优度你有什么看法吗？
（4）检验是否每一个回归系数都与零显著不同（在1%水平下）。同时对零假设和备择假设、检验统计值、其分布和自由度以及拒绝零假设的标准进行陈述。你的结论是什么？
解答：
（1）?为收入的边际储蓄倾向，表示人均收入每增加1美元时人均储蓄的预期平均变化量。
（2）由于收入为零时，家庭仍会有支出，可预期零收入时的平均储蓄为负，因此?符号应为负。储蓄是收入的一部分，且会随着收入的增加而增加，因此预期?的符号为正。实际的回归式中，?的符号为正，与预期的一致。但截距项为负，与预期不符。这可能与由于模型的错误设定形造成的。如家庭的人口数可能影响家庭的储蓄形为，省略该变量将对截距项的估计产生影响；另一种可能就是线性设定可能不正确。
（3）拟合优度刻画解释变量对被解释变量变化的解释能力。模型中53.8%的拟合优度，表明收入的变化可以解释储蓄中53.8 %的变动。
（4）检验单个参数采用t检验，零假设为参数为零，备择假设为参数不为零。双变量情形下在零假设下t 分布的自由度为n-2=36-2=34。由t分布表知，双侧1%下的临界值位于2.750与2.704之间。斜率项计算的t值为0.067/0.011=6.09，截距项计算的t值为384.105/151.105=2.54。可见斜率项计算的t 值大于临界值，截距项小于临界值，因此拒绝斜率项为零的假设，但不拒绝截距项为零的假设。
三、习题
6
（一）基本知识类题型 2-1．解释下列概念： 1) 总体回归函数 2) 样本回归函数 3) 随机的总体回归函数 4) 线性回归模型
5) 随机误差项（ui）和残差项（ei） 6) 条件期望 7) 非条件期望 8) 回归系数或回归参数 9) 回归系数的估计量 10) 最小平方法
2-2．判断正误并说明理由：
1) 随机误差项ui和残差项ei是一回事
2) 总体回归函数给出了对应于每一个自变量的因变量的值 3) 线性回归模型意味着变量是线性的
4) 在线性回归模型中，解释变量是原因，被解释变量是结果 5) 随机变量的条件均值与非条件均值是一回事
2-3．回答下列问题：
1) 线性回归模型有哪些基本假设？违背基本假设的计量经济学模型是否就不可估计？ 2) 总体方差与参数估计误差的区别与联系。 3) 随机误差项ui和残差项ei的区别与联系。
4) 根据最小二乘原理，所估计的模型已经使得拟合误差达到最小，为什么还要讨论模型的
拟合优度问题？
5) 为什么用决定系数R2评价拟合优度，而不用残差平方和作为评价标准？ 6) R2检验与F检验的区别与联系。 7) 回归分析与相关分析的区别与联系。
7
11) 最大似然法 12) 估计量的标准差 13) 总离差平方和 14) 回归平方和 15) 残差平方和 16) 协方差 17) 拟合优度检验 18) t检验 19) F检验
8) 最小二乘法和最大似然法的基本原理各是什么？说明它们有何区别？ 9) 为什么要进行解释变量的显著性检验？
10) 是否任何两个变量之间的关系，都可以用两变量线性回归模型进行分析？
2-2．下列方程哪些是正确的？哪些是错误的？为什么？
t?1,2,?,n ⑴ yt????xtt?1,2,?,n ⑵ yt????xt??t?x?????⑶ yt??tt?x??????t??⑷ ytt?x???⑸ yt??t?x????t??⑹ yt?x??????t⑺ yt??t?x??????t?t??⑻ ytt?1,2,?,n t?1,2,?,n t?12,,?,n t?12,,?,n
t?1,2,?,n t?1,2,?,n
其中带“＾”者表示“估计值”。
2-3．下表列出若干对自变量与因变量。对每一对变量，你认为它们之间的关系如何？是正的、负的、还是无法确定？并说明理由。
因变量 GNP 个人储蓄 小麦产出 美国国防开支 棒球明星本垒打的次数 总统声誉 学生计量经济学成绩 日本汽车的进口量 利率 利率 降雨量 前苏联国防开支 其年薪 任职时间 其统计学成绩 美国人均国民收入 自变量
（二）基本证明与问答类题型
2-4．对于一元线性回归模型，试证明： （1）E(yi)????xi （2）D(yi)??
8
2（3）Cov(yi,yj)?0 i?j
2-5．参数估计量的无偏性和有效性的含义是什么？从参数估计量的无偏性和有效性证明过程说明，为什么说满足基本假设的计量经济学模型的普通最小二乘参数估计量才具有无偏性和有效性？
2-6．对于过原点回归模型Yi??1Xi?ui ，试证明
Var(?1)?2-7． 试证明： （1）（2）（3）
??u2?Xi2
?ei?0，从而：e?0 ?0
?0；即残差ei与Yi的估计值之积的和为零。
?exiii?i?eY2
2-8．为什么在一元线性方程中，最小二乘估计量与极大似然估计量的表达式是一致的？证
1n?2明：σ的ML估计量为????i ，并且是有偏的。
ni?12~2-9．熟悉t统计量的计算方法和查表判断。
2-10．证明：R?(ryx) ；其中R2是一元线性回归模型的判定系数，ryx是y与x的相关
22系数。
2-11． 试根据置信区间的概念解释t检验的概率意义，即证明：对于显著性水平α，当
ti?t?时，bi的100（1-α）%的置信区间不包含0。
22-12．线性回归模型
yt????xt??tt?1,2,?,n
1的0均值假设是否可以表示为
n??t?1nt?0？为什么？
2-13．现代投资分析的特征线涉及如下回归方程：rt??0??1rmt?ut；其中：r表示股票或债券的收益率；rm表示有价证券的收益率（用市场指数表示，如标准普尔500指数）；t表示时间。在投资分析中，β1被称为债券的安全系数β，是用来度量市场的风险程度的，即市场的发展对公司的财产有何影响。依据1956~1976年间240个月的数据，Fogler和Ganpathy得到IBM股票的回归方程；市场指数是在芝加哥大学建立的市场有价证券指数：
9
rt?0.7264?1.0598rmt r2?0.4710
(0.3001) (0.0728)
要求：（1）解释回归参数的意义；（2）如何解释r2？（3）安全系数β>1的证券称为不稳定证券，建立适当的零假设及备选假设，并用t检验进行检验（α=5%）。 2-14． 已知模型Yi????xi?ui，证明：估计量α可以表示为：??????(n?xW)y 这
iii?1n1里Wi?xi?xi?
22-15．已知两个量X和Y的一组观察值（xi，yi），i=1，2，?，n。 证明：Y的真实值和拟合值有共同的均值。
2-16．一个消费分析者论证了消费函数Ci?a?bYi是无用的，因为散点图上的点（Ci，Yi）不在直线Ci?a?bYi上。他还注意到，有时Yi上升但Ci下降。因此他下结论：Ci不是Yi的函数。请你评价他的论据（这里Ci是消费，Yi是收入）。
2-17．证明：仅当R2=1时，y对x的线性回归的斜率估计量等于x对y的线性回归的斜率估计量的倒数。
?Sx2-18．证明：相关系数的另一个表达式是：r?? 其中?为一元线性回归模型一次项
Sy?系数的估计值，Sx、Sy分别为样本标准差。
2-19．对于经济计量模型：Yi?b0?b1Xi?ui ，其OLS估计参数b1的特性在下列情况下会受到什么影响：（1）观测值数目n增加；（2）Xi各观测值差额增加；（3）Xi各观测值近似相等；（4）E（u2）=0 。
2-20．假定有如下的回归结果：Yt?2.6911?0.4795Xt，其中，Y表示美国的咖啡的消费量（每天每人消费的杯数），X表示咖啡的零售价格（美元/杯），t表示时间。 要求：
（1）这是一个时间序列回归还是横截面序列回归？做出回归线； （2）如何解释截距的意义，它有经济含义吗？如何解释斜率？ （3）能否求出真实的总体回归函数？
? 10