解微分方程的欧拉法，龙格-库塔法简单实例比较
欧拉方法（Euler method)用以对给定初值的常微分方程(即初值问题)求解分为前EULER法、后退EULER法、改进的EULER法。 缺点：
欧拉法简单地取切线的端点作为下一步的起点进行计算，当步数增多时，误差会因积累而越来越大。因此欧拉格式一般不用于实际计算。
改进欧拉格式（向前欧拉公式）：
为提高精度，需要在欧拉格式的基础上进行改进。采用区间两端的斜率的平均值作为直线方程的斜率。改进欧拉法的精度为二阶。 算法：
微分方程的本质特征是方程中含有导数项，数值解法的第一步就是设法消除其导数值。对于常微分方程：
dy?f(x,y) x?[a,b] dxy(a)?y0
可以将区间[a,b]分成n段，那么方程在第xi点有y'(xi)?f(xi,y(xi))，再用向前差商近似代替导数则为：
(y(xi?1)?y(xi))?f(xi,y(xi))
h在这里，h是步长，即相邻两个结点间的距离。因此可以根据xi点和yi的数值计算出yi?1来：
yi?1?yi?h?f(xi,yi)i?0,1,2,?L
这就是向前欧拉公式。
改进的欧拉公式：
将向前欧拉公式中的导数f(xi,yi)改为微元两端导数的平均，即上式便是梯形的欧拉公式。
可见，上式是隐式格式，需要迭代求解。为了便于求解，使用改进的欧拉公式： 数值分析中，龙格－库塔法（Runge-Kutta）是用于模拟常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。实际上，龙格-库塔法是欧拉方法的一种推广，向前欧拉公式将导数项简单取为f(xn,yn),而改进的欧拉公式将导数项取为两端导数的平均。
龙格-库塔方法的基本思想：
在区间[xn,xn?1]内多取几个点，将他们的斜率加权平均，作为导数的近似。 龙格库塔法的家族中的一个成员如此常用，以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格库塔法”。 令初值问题表述如下。
y'?f(t,y)y(t0)?y0
则，对于该问题的RK4由如下方程给出：
hyn?1?yn?(k1?2k2?2k3?k4)
6其中
k1?f(tn,yn)
hhk2?f(tn?,yn?k1)
22hhk3?f(tn?,yn?k2)
22k4?f(tn?h,yn?hk3)
这样，下一个值yn?1由现在的值yn加上时间间隔h和一个估算的斜率的乘积决定。该斜率是以下斜率的加权平均： k1是时间段开始时的斜率；
k2是时间段中点的斜率，通过欧拉法采用斜率k1来决定y在点tn? k3也是中点的斜率，但是这次采用斜率k2决定y值； k4是时间段终点的斜率，其y值用k3决定。 当四个斜率取平均时，中点的斜率有更大的权值：
h的值； 2slope?k1?2k2?2k3?k46
54hhRK4法是四阶方法，也就是说每步的误差是阶，而总积累误差为阶。注
意上述公式对于标量或者向量函数(y可以是向量)都适用。
例子：h?0.2;x?0:h:4
下面给出了数值求解该微分方程的简单程序。
其中y1,y2,y3,y4分别为向前欧拉公式，改进的欧拉公式，4级4阶龙格-库塔公式及精确解。
结果分析：
图1中显示在x?2时，3种算法与精确值较接近，即误差不大，但当x继续增加时则4级4阶龙格库塔法较精确，但也有一定限度，当x?3.5时，计算值与精确值得差别将越来越大。从图2中可以清楚的看到这一结果，其中'y1'?y4?y1，
'y2'?y4?y2，'y3'?y4?y3。
图1
图2