以零电位点作为计算节点电压的参考点，根据基尔霍夫定律，可以写出4个独立节点的电流平衡方程如下
??y(U??U?)?I??y10U112121??U?)?yU??y(U??U?)?y(U??U?)?0?y12(U?2120223232424???U?)?y(U??U?)?0y23(U?323434???U?)?y(U??U?)?yU??I?y24(U4234434044? （2-1） 上述方程组经过整理可以写成
??YU???Y11U1122???????????????????????????I1?????Y21U1?Y22U2?Y23U3?Y24U4?0???YU??YU??0??????????????Y32U?2333344??YU??YU??I???????????????Y42U24334444? （2-2）
式中，Y11?y10?y12；Y22?y20?y23?y24?y12；Y33?y23?y34；
Y44?y40?y24?y34；Y12?Y21??y12；Y23?Y32??y23；Y24?Y42??y24；Y34?Y43??y34。
一般的，对于有n个独立节点的网络，可以列写n个节点方程
??YU????Y11U1122???Y1nUn?I1??YU????YU??I??Y21U12222nn2?????????????????????????????YU????Yn1U1n22???YnnUn?In? （2-3）
也可以用矩阵写成
???I???Y11???Y12???Y1n??U11?????Y???Y???Y???2n??U2??I2??2122???????????????????????????????Yn1????Yn2?Ynn???Un????In?? （2-4）
或缩写为
YU?I （2-5） 矩阵Y称为节点导纳矩阵。它的对角线元素Yii称为节点i的自导纳，其
Y值等于接于节点i的所有支路导纳之和。非对角线元素ij称为节点i、j 间的互导纳，它等于直接接于节点i、j间的支路导纳的负值。若节点i、j间不存在直接支路，则有
Yij?0。由此可知节点导纳矩阵是一个稀疏的对称矩
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阵。
2.1.2节点导纳矩阵的修改
在电力系统中，接线方式或运行状态等均会发生变化，从而使网络接线改变。比如一台变压器支路的投入或切除，均会使与之相连的节点的自导纳或互导纳发生变化，而网络中其它部分结构并没有改变，因此不必从新形成节点导纳矩阵，而只需对原有的矩阵作必要的修改就可以了。现在几种典型的接线变化说明具体的修改方法。
iyijij(a)I侧i(b)k*yTII侧jk*(k*-1)yTij(c)ij(d)yij-yij-yijy′ij(1-K*)yT(e)
图2-2 电力接线的改变
（a）增加支路和节点；（b）增加支路；（c）切除支路；
（d）改变支路参数；（e）改变变压器变比
（1）从原有网络的节点i引出一条导纳为一阶，矩阵作如下修改：
Yij的支路，j为新增加的
节点，如图2-2(a)所示。由于新增加了一个节点，所以节点导纳矩阵增加
Y 1）原有节点i的自导纳Yii的增量?Yii＝ij；
Y?yij 2）新增节点j的自导纳jj；
；其它新增的非对角元均为零。
y（2）在原有网络的节点i与j之间增加一条导纳为ij的支路，如图2-2(b)所示。则与i、j有关的元素应作如下修改：
3）新增的非对角元素
Yij?Yji??yij?Yii??Yjj??yij 1）节点i、j的自导纳增量；
?Yij??Yji??yij 2）节点i、j的互导纳增量。
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y （3）在网络的原有节点i、j之间切除一条导纳为ij的支路，如图
?y2-2（c）所示，其相当在i、j之间增加一条导纳为ij的支路，因此与i、
j有关的元素应作以下修改：
?Y??Yjj??yij 1）节点i、j的自导纳增量ii；
?Y??Yji?yij 2）节点i、j之间的互导纳增量ij；
yy?（4）原有网络节点i、j之间的导纳由ij变成ij，相当于在节点i、jyy?之间切除一条导纳为ij的支路，再增加一条导纳为ij的支路，如图2-2（d）所示。则与i、j有关的元素应作如下修改：
??yij?Y??Yjj?yij 1）节点i、j的自导纳增量ii；
?Y??Yji?yij?y?ij 2）节点i、j的互导纳增量ij。
（5）原有网络节点i、j之间变压器的变比由
?k?变为k?，即相当于
切除一台变比为
k?的变压器，再投入一台变比为k??的变压器，
k??(U?U?)(U?BU?B)，如图2-2（e）变压器Ⅱ型等值电路，图中yT为与变压
器原边基准电压对应的变压器导纳标幺值，则与i、j有关的元素应作如下修改：
?Y?(k???k1）节点i的自导纳增量?Yii?0；节点j的自导纳增量jj?Y2）节点i与j之间的互导纳增量ij
22?)yT；
??Yji?(k??k??)yT。
2.2节点导纳矩阵元素的物理意义
节点导纳矩阵的元素已在上一节作了说明，现在进一步讨论这些元素的物理意义。
如果令
??0??0UU2,n,?j,kk j (j?1,?
代入2-3的各式，可得
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?? YikUk?Ii (i?1,2,?,n) 或
???IYik??i????0,j?k?Uk?Uj （2-6）
当k?i时，公式2-6说明，当网络中除节点i以外所有节点都接地时，从节点i注入网络的电流同施加于节点i的电压之比，即等于节点i的自导纳Yii。换句话说，自导纳Yii是节点i以外的所有节点都接地时节点i对地的
总导纳。显然，Yii应等于与节点i相接的各支路导纳之和，即
Yii?yi0??yijj （2-7）
y式中 ，yi0为节点i与零电位节点之间的支路导纳；ij为节点i与节点j之间的支路导纳。
当k?i时，公式2-6说明，当网络中除节点k以外所有节点都接地时，从节点i注入网络的电流同施加于节点k的电压之比，即等于节点k、i的互导纳Yik。在这种情况下，节点i的电流实际上是自网络流出并进入地中的电流，所以Yik应等于与节点k、i之间的支路导纳的负值，即
Yik??yik
（2-8）
不难理解Yki?Yik。若节点i和k没有支路直接相联时，便有Yik?0。
?U在图2-2 所示的网络中，单独在节点2接上电源2，而将其余节点都接地。
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4?45y455y566y31?1y10y20?53y36?3y60?6y12y23?2ú25图2-3 自导纳和互导纳的确定
y12
根据上述节点自导纳和互导纳的定义，可得
??yU???y20UI2122?y23U22Y22???y20?y12?y23??U2U2 ??Iy12U12Y12?????y12??U2U2 ??Iy23U32Y32?????y23??U2U2
???52?Y62?0。从图中也可以清楚地看到，节点因I4?I5?I6?0，故Y42?Y4、5和6同节点2都没有直接的支路关系。导纳矩阵元素的其它元素也可以用类似方法确定。
节点导纳矩阵的主要特点是：
（1）节点导纳矩阵的元素很容易根据网络接线图和支路参数直观的求得，形成节点导纳矩阵的程序比较简单。
（2）节导纳矩阵是稀疏矩阵。它的对角线元素一般不为零，但在非对角线元素中则存在不少零元素。在电力系统的接线图中，一般每个节点同平均不超过3~4个其它节点有直接的支路联接，因此在导纳矩阵的非对角线元素中每行平均仅有3~4个非零元素，其余的元素都为零。如果在程序设计中设法排除零元素的贮存和运算，就可以大大地节省贮存单元和提高计算速度。
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