见上
16．设V=〈 N，+ ，错误！未找到引用源。〉，其中+ ，错误！未找到引用源。分别代表普通加法与乘法，对下面给定的每个集合确定它是否构成V的子代数，为什么？
（1）S1=错误！未找到引用源。 是
（2）S2=错误！未找到引用源。 不是 加法不封闭 （3）S3 = {-1，0，1} 不是，加法不封闭
第十一章部分课后习题参考答案8.设S={0，1，2，3}，
为模4乘法，即
\?x,y∈S, x
y=(xy)mod 4
问〈S，
〉是否构成群？为什么？
解：(1) ?x,y∈S, x
y=(xy)mod 4?S,
是S上的代数运算。
(2) ?x,y,z∈S,设xy=4k+r 0?r?3
(x
y)
z =((xy)mod 4)
z=r
z=(rz)mod 4
=(4kz+rz)mod 4=((4k+r)z)mod 4 =(xyz)mod 4 同理x
(y
z) =(xyz)mod 4 所以，(xy)
z = x(y
z)，结合律成立。
(3) ?x∈S, (x
1)=(1
x)=x,，所以1是单位元。
(4)1?1?1,3?1?3, 0和2没有逆元 所以，〈S，〉不构成群
9.设Z为整数集合，在Z上定义二元运算。如下： \?x,y∈Z,xoy= x+y-2 问Z关于o运算能否构成群？为什么？
解：(1) ?x,y∈Z, xoy= x+y-2?Z,o是Z上的代数运算。 (2) ?x,y,z∈Z,
(xoy) oz =(x+y-2)oz=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4 同理(xoy)oz= xo(yoz)，结合律成立。
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(3)设e是单位元，?x∈Z, xoe= eox=x,即x+e-2= e+x-2=x, e=2 (4) ?x∈Z , 设x的逆元是y, xoy= yox=e, 即x+y-2=y+x-2=2, 所以，x?1?y?4?x 所以〈Z，o〉构成群
??10??10?11.设G=???01??,??0?1??,???????10???10????01??,??0?1???，证明G关于矩阵乘法构成一个群． ?????解：(1) ?x,y∈G, 易知xy∈G,乘法是Z上的代数运算。
(2) 矩阵乘法满足结合律
?10?(3)设??01??是单位元，
??(4)每个矩阵的逆元都是自己。 所以G关于矩阵乘法构成一个群．
14.设G为群，且存在a∈G,使得 G={ak∣k∈Z} 证明：G是交换群。
证明:?x,y∈G，设x?ak,y?al，则 xy?akal?ak?l??al?k?alak?yx 所以，G是交换群
17.设G为群，证明e为G中唯一的幂等元。
22证明:设e0?G也是幂等元，则e0?e0，即e0?e0e，由消去律知e0?e
18.设G为群，a,b,c∈G,证明
∣abc∣=∣bca∣=∣cab∣ 证明：先证设(abc)k?e?(bca)k?e 设(abc)k?e,则(abc)(abc)(abc)?(abc)?e， 即 a(bc)(abc)(abc)?a(bc)aa?1?e
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左边同乘a?1，右边同乘a得
(bca)(bca)(bca)?(bca)?(bac)k?a?1ea?e
反过来，设(bac)k?e,则(abc)k?e.
由元素阶的定义知，∣abc∣=∣bca∣，同理∣bca∣=∣cab∣
19.证明：偶数阶群G必含2阶元。
证明：设群G不含2阶元，?a?G，当a?e时，a是一阶元，当a?e时，a至少是3阶元,因为群G时有限阶的，所以a是有限阶的，设a是k阶的,则a?1也是k阶的，所以高于3阶的元成对出现的，G不含2阶元，G含唯一的1阶元e,这与群G是偶数阶的矛盾。所以，偶数阶群G必含2阶元
20.设G为非Abel群，证明G中存在非单位元a和b,a≠b,且ab=ba. 证明：先证明G含至少含3阶元。
若G只含1阶元,则G={e},G为Abel群矛盾；
若G除了1阶元e外,其余元a均为2阶元，则a2?e，a?1?a
?a,b?G,a?1?a,b?1?b,(ab)?1?ab,所以ab?a?1b?1?(ba)?1?ba， 与G为Abel群矛盾；
所以，G含至少含一个3阶元，设为a，则a?a2，且a2a?aa2。 令b?a2的证。
21.设G是Mn(R)上的加法群，n≥2，判断下述子集是否构成子群。 （1）全体对称矩阵 是子群 （2）全体对角矩阵 是子群
（3）全体行列式大于等于0的矩阵. 不是子群 （4）全体上（下）三角矩阵。 是子群
22.设G为群，a是G中给定元素，a的正规化子N（a）表示G中与a可交换的元素构成的集合，即
N（a）={x∣x∈G∧xa=ax} 证明N（a）构成G的子群。 证明：ea=ae,e?N(a)??
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?x,y?N(a),则ax?xa,ay?ya
a(xy)?(ax)y?(xa)y?x(ay)?x(ya)?(xy)a,所以xy?N(a)
由ax?xa，得x?1axx?1?x?1xax?1,x?1ae?eax?1，即x?1a?ax?1，所以x?1?N(a) 所以N（a）构成G的子群
31.设?1是群G1到G2的同态，?2是G2到G3的同态，证明?1??2是G1到G3的同态。 证明：有已知?1是G1到G2的函数，?2是G2到G3的函数，则?1·?2是G1到G3的函数。 ?a,b?G1,(?1??2)(ab)??2(?1(ab))??2(?1(a)?1(b)) ?(?2(?1(a)))(?2(?1(b)))?(?1??2)(a)(?1??2)(b) 所以:?1·?2是G1到G3的同态。
33.证明循环群一定是阿贝尔群，说明阿贝尔群是否一定为循环群，并证明你的结论。 证明：设G是循环群,令G=,?x,y?G,令x?ak,y?al,那么
xy?akal?ak?l?al?k?alak?yx,G是阿贝尔群
克莱因四元群,G?{e,a,b,c}
?eabceeabaaecbbceccb acbae是交换群,但不是循环群,因为e是一阶元，a,b,c是二阶元。 36.设?,?是5元置换，且
????21453??，????34512??
????(1)计算??,??,??1,??1,??1??； (2)将??,??1,??1??表成不交的轮换之积。
(3)将（2）中的置换表示成对换之积，并说明哪些为奇置换，哪些为偶置换。
?12345??12345??12345??12345??1?12345???解：(1) ???? ????45321??43125?? ????45123??
???????1? ??1????????21534??54132??
?????12345??12345?) ??1?(14253(2) ???(1425) ??1???(143)(25)
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(3) ???(14)(12)(15) 奇置换， ??1?(14)(12)(15)(13) 偶置换 ??1???(14)(13)(25) 奇置换
第十四章部分课后习题参考答案
5、设无向图G有10条边，3度与4度顶点各2个，其余顶点的度数均小于3，问G至少有多少个顶点？在最少顶点的情况下，写出度数列、?(G)、?(G)。 解：由握手定理图G的度数之和为：2?10?20
3度与4度顶点各2个，这4个顶点的度数之和为14度。 其余顶点的度数共有6度。
其余顶点的度数均小于3，欲使G的顶点最少，其余顶点的度数应都取2, 所以，G至少有7个顶点, 出度数列为3,3,4,4,2,2,2,?(G)?4,?(G)?2.
7、设有向图D的度数列为2，3，2，3，出度列为1，2，1，1，求D的入度列，并求?(D),?(D)，
??(D),??(D),??(D),??(D).
解：D的度数列为2，3，2，3，出度列为1，2，1，1，D的入度列为1,1,1,2.
?(D)?3,?(D)?2,??(D)?2,??(D)?1,??(D)?2,??(D)?1
8、设无向图中有6条边，3度与5度顶点各1个，其余顶点都是2度点，问该图有多少个顶点？
解：由握手定理图G的度数之和为：2?6?12
设2度点x个，则3?1?5?1?2x?12，x?2，该图有4个顶点.
14、下面给出的两个正整数数列中哪个是可图化的？对可图化的数列，试给出3种非同构的无向图，其中至少有两个时简单图。
(1) 2,2,3,3,4,4,5 (2) 2,2,2,2,3,3,4,4 解：(1) 2+2+3+3+4+4+5=23 是奇数，不可图化； (2) 2＋2+2+2+3+3+4+4=16, 是偶数，可图化；
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