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Rn?n??UHRnnU
r?)?tr(rrR) tr(r?R?x?)?tr(xxR) (2.26) tr(xR?n?)?tr(nnR) tr(nR以上关系显示，r'、x' 和n' 的协方差矩阵有相等的对角元素和，从而有相等的功率；而对于原始信号和r、x和n,它们是各不相等的。
考虑到(2.22）所描述的等价MIMO信道模型中，子信道是去耦的，因此其容量可以直接相加。假设在等效MIMO信道中，每根天线的发射功率为P/nT，运用香农公式，可以估算出总的信道容量（用C表示）为:
?P? C?W?log2?1?ri? （2.27）2???i?1
r式中，W是每个子信道的带宽；Pri是在第i个子信道中接收的信号功率，由下式给出：
Pri?
?iP （2.28） nT式中，?i是信道矩阵H的奇异值。因此信道容量可以写成:
r???iP??iP??? （2.29） C?W?log2?1??Wlog1?2??2?2?nT??i?li?1??nT??
r下面说明信道容量是如何与信道矩阵H相关的。假定m=min（nR，nT）,(2.20）定义了特征值-特征矢量的关系，可重新写为:
??Im?Q?y?0
y?0 （2.30）
式中，Q是威沙特（Wishart）矩阵，定义为:
n?nT?HHHQ??H R （2.31）
n?nRT?HH
即当且仅当?Im?Q是奇异矩阵时，λ是Q的一个特征值。因此?Im?Q的行列式必定为零，即
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det??Im?Q??0 （2.32）
通过查找（2.32）的根，即可计算出信道矩阵的奇异值λ。 式（2.32）左边的特征多项式P（λ）为
p????det??Im?Q? （2.33）
其幂次为m，因为在det??Im?Q?的拉普拉斯最小项乘积式中，??Im?Q?的每一行对应λ的一次乘积项。由于复系数m次多项式刚好有m个零点，特征多项式可写成:
P?????????i? （2.34）
i?1m
式中，?i是特征多项式P（λ）的根，等于信道矩阵的奇异值。（2.32）可以写为：
?????i??0 （2.35）
i?lm
进而令（2.32）和（2.33）的左边相等
???????det??I1i?lmm ?Q? （2.36）
nT?2用?替换（2.36）中的λ，得到
p????ip?p???（2.37）
??1?n?2??det?Im?n?2Q??
TT??? i?l?m由（2.37）得到的容量公式，可以写成
??P（2.38） C?Wlog2det?I?Q?mn?2??
T??
由于HHH和HHH的非零特征值相等，信道矩阵H和HH的信道容量也相等。如果信道系数是随机变量，则（2.29）和（2.30）表示的是瞬时容量交互信息量。可以通过对所有信道系数的实现取平均得到平均信道容量。
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第3章 MIMO系统容量仿真
3.1 MATLAB简介
MATLAB的名称源自Matrix Laboratory，它是一种科学计算软件，专门以矩阵的形式处理数据。MATLAB将高性能的数值计算和可视化集成在一起，并提供了大量的内置函数，从而被广泛地应用于科学计算、控制系统、信息处理等领域的分析、仿真和设计工作，而且利用MATLAB产品的开放式结构，可以非常容易地对MATLAB的功能进行扩充，从而在不断深化对问题认识的同时，完善MATLAB产品以提高产品自身的竞争能力。
MATLAB是MATLAB产品家族的基础，它提供了基本的数学算法，例如矩阵运算、数值分析算法，MATLAB集成了2D和3D图形功能，以完成相应数值可视化的工作，并且提供了一种交互式的高级编程语言—M语言。 3.2 搭建MATLAB仿真平台
首先，用矩阵实验室MATLAB7.0仿真软件搭建仿真平台，为MIMO信道容量公式编程，生成能计算信道容量的M 文件。参数设置见下表：
表3.1参数设置
参数设置 Capacity SNR N M 信道容量 信噪比 发射天线数 接受天线数 本科毕业论文(设计)
Counter 循环数 第 15 页
首先，赋值N、M、SNRmin、SNRmax 等参数，完成计算信道容量子程序的映射任务，程序中采用嵌套的For循环，迭代次数为Counter，求出在设定的信噪比范围内的MIMO信道的信道容量，求其平均值，以减少因信道瑞利衰落带来的仿真数据误差。
同样，用此平台，组合不同的天线，计算不同信噪比下的MIMO信道容量并进行仿真分析。本文计算0dB、5dB、10dB、15dB下的信道容量，并对其进行仿真，最后得出结论。计算容量子程序和主程序流程图分别见图3.1和图3.2
图 3.1计算信道容量子程序流程图
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图3.2 主程序流程图
3.3 MIMO系统信道容量的仿真和结果分析
1、发射天线数nT为4，接收天线nR逐渐增大，4种信噪比下的仿真结果如下图所示：
图 3.3 发射天线为4时，4种信噪比下仿真图