实对称矩阵就是这样一种特殊的矩阵，它一定存在着n个线性无关的特征向量，即一定可对角化。实对称矩阵属于不同特征值得特征向量是正交的，而之前已经提到过，对同一特征值来说，其特征向量的线性组合仍是其特征向量，故可利用施密特正交化方法（本质是线性组合）来构造出一组属于同一特征值的正交特征向量，这些正交化单位化后的特征向量就决定了实对称矩阵一定可以正交对角化。要注意到正交矩阵当然是可逆的，正交的向量组当然是线性无关的，这是实对称矩阵对于一般矩阵来说在相似变换性质上更为优越的地方。
线性代数知识点框架（六）
在实际生活中，我们常常会遇到许多与n个变量x1，x2，…，xn构成的二次齐次多项式f（x1，x2，…，xn）相关的问题（如二次曲面问题、多元函数的极值问题等），我们将这种多项式称为一个n元二次型。
可以看到，与线性方程组类似，对二次型的性质起决定作用的是自变量的系数及其相对位置，这提示我们可以把这些系数排成的一个n阶矩阵A，用矩阵的工具来研究二次型，具体做法是：
令X=（x1，x2，…，xn）’，则二次型f（x1，x2，…，xn）可以写成：
f（x1，x2，…，xn）=X’AX
其中A称为二次型f（x1，x2，…，xn）的矩阵，它的特点是：主对角线上的元素是完全平方项的系数，（i，j）位置上的元素是交叉项系数的一半，这决定了二次型矩阵的对称性和唯一性。
我们知道，矩阵的一个应用是线性变换，即关系式X=CY表示的是从变量x1，x2，…，xn到变量y1，y2，…，yn的一个线性变换，一般来
说，我们还要求这种变换是可逆的（即C可逆）。从坐标变换的角度来看，向量R在X坐标系下的分量x1，x2，…，xn与Y坐标系下的分量y1，y2，…，yn通过转换矩阵C相联系，这表明：同一个向量实体在不同坐标系下可以有不同的表现形式，但本质上并无区别。
利用线性变换X=C*Y，变量X的一个二次型f（x1，x2，…，xn）=X’AX可以变成
（CY）’A（CY）=Y’C’ACY= Y’（C’AC）Y
设C’AC=B，则有 Y’BY= f（y1，y2，…，yn），这是变量Y的一个二次型，不难验证，B正是二次型f（y1，y2，…，yn）的矩阵。
从坐标变换的角度来看，与向量类似，同一个二次型f在不同的坐标系下可以有不同的表现形式，两者通过关系式C’AC=B相联系，但本质上并无区别。
对矩阵A、B来说，如果存在着可逆矩阵C，使得C’AC=B，我们称A与B是合同的，不难推断，合同的矩阵有相同的秩，且对应着同一个二次型。特别地，如果矩阵A与对角矩阵∧合同，那这个对角矩阵∧对应的就是一个只含完全平方项的二次型，称为标准型。将二次型化为标准型来进行研究，因为不含交叉项，问题变得简单许多。
注意到二次型的矩阵总是对称矩阵，故对于实数域上的二次型X’AX来说，其矩阵A必可正交对角化，故必定存在一个正交矩阵Q，使得Q逆*A*Q=∧，同时考虑到Q’=Q逆，因此Q’AQ=∧，即A合同于对角矩阵。也就是说，对实数域上的任意一个二次型，都能够通过合适的坐标变换化为标准型。从坐标变换的角度来看，我们总可以找到一个合适的坐标系，在该坐标系中，二次型f以相对较为简单的，仅含完全平方项的形式表现出来，而这些完全平方项的系数（也就是矩阵A的特征值），就决定了该二次型具有的全部性质。
同一个实二次型X’AX，其标准型不唯一，但标准型中完全平方项的个数r是唯一的，同时r也就是二次型矩阵A的秩。
这里应该着重体会的是，正是利用实对称矩阵在相似变换上强有力的性质（必可正交对角化），我们才得以将二次型化标准型的问题转化为矩阵求特征值特征向量的问题，而后者是之前就已经探讨清楚了的。
在得到实二次型的标准型后，还可对标准型中所有平方项的系数进行归
一化，即得到规范型，一个二次型的规范性是唯一的。规范型只含平方项，且平方项的系数只有1，0，-1，实二次型的规范性由正惯性指数的个数p和负惯性指数的个数q决定，其中p+q=r为二次型矩阵的秩。规范型在形式上更为简单，一般常通过研究二次型的规范型来对其作出一些定性的判断。
正定二次型是无论自变量如何取值都能保证结果恒正的二次型，即对于任意非零的X，都有X’AX>0。判断一个二次型的正定性，一种选择是直接从定义出发，另一种方案可考虑利用规范型（因为无论正定负定都是一个定性而非定量的结论），而实际上正定二次型的许多性质也确实能通过其规范型相联系，这是值得注意的。 同济五版《线性代数》习题解读（一）
1、利用对角线法则计算行列式，可以通过几道小题熟悉一下把行列式化成上（下）三角的过程，基本题。
2、3题涉及排列以及行列式的展开准则，不是太重要，了解即可。
4、5、6题是一些计算行列式的练习，不同特点的行列式通常有不同的方法，常见的就是化为上（下）三角，按行（列）展开，某一行（列）是和的形式可进行拆分，基本题，要通过这些练习来熟练行列式的运算这一块。5题虽然是以方程形式给出，但考察点还是计算。
7、行列式性质的应用，比较重要的题型，重在对思维的训练，而且该题的结论很常用，最好掌握。
8、一些难度较高的行列式的计算题，涉及到不少技巧，而这些技巧通
常初学者是想不到的，这时候可以看看答案，体会一下答案的做法，对这块内容的要求和不定积分是类似的。
9、设计巧妙的题目，隐含考点是行列式按行展开的性质：若是相同行（列）的元素和代数余子式对应相乘求和，结果是行列式的值；若是不同行（列）的元素和代数余子式对应相乘求和，结果为0。注意此题要求的结果是第三行的代数余子式的某种组合，而根据代数余子式的定义可知，这与题给的行列式中的第三行的元素是无关的，那就可以根据需要把第三行的元素替换为前面要求的式子中的那些系数，这样问题就简化为求一个新的行列式，而无需烦琐的进行四次求代数余子式的运算。此题技巧性较强，但这个构思方法值得掌握。
10、克兰姆法则的应用，归根结底还是计算行列式。
11、12题是通过行列式来判断齐次方程组的解的情况，基本题，在已经复习完一遍线代后也可以用其它方法（化阶梯行、求秩）来做。
总的来说，第一章的习题大都非常基本，集中于计算层面的考察，没有理解上的难度。 同济五版《线性代数》习题解读（二） 1 、矩阵乘法的基本练习，简单题，但计算很容易出错，不可轻视，（5）小题实际上就是第五章要接触的二次型。
2、直接考察矩阵相关运算，基本题。
3、矩阵的乘法实际上是表示一个线性变换，题目给出了从y到x的变换，还给出了从z到y的变换，要求z到x的变换。既然一个矩阵可以表示一个线性变换，两个矩阵的乘积即可理解为两个变换的叠加，这也是提供了一个侧面去理解矩阵相乘的意义。
4、5题实际上都是通过一些具体的例子来加深对矩阵运算的理解，比如矩阵乘法不能交换、不能像数乘那样约去因子，等等，这些例子是比较重要的，因为有时能在考场上派上用场，需要熟悉。
6、7题是求矩阵乘方的题目，基本题，但要注意些适当的技巧，比如拆成两个特殊矩阵的和，能简化运算。
8、9是关于对称阵概念的考查，不难但重要，因为这类题即是线代里证明题的代表：几乎都要从定义出发证明。所以从这两道题得到的启发是要把线代上的每个知识点都抠得足够细，了然于心。
10、11、12都是矩阵求逆的计算题，只不过表达方式不同，10题是直接提出要求，11题是以矩阵方程的形式来暗示求逆，12题则从线性方程组的角度来暗示求逆。求逆是错误率很高的一类题目，所以需要重点练习。
13、和3题类似，矩阵的乘法实际上是表示一个线性变换，题目给出了从y到x的变换——可以用一个矩阵表示，反过来求x到y的变换，求逆阵即可。此题的另外一个暗示：要能够熟练的掌握从方程组到矩阵的写法，即矩阵方程x=Ay代表一个线性方程组，或者说一个线性变换，对这两种写法都要能够看到一个马上反应到另一个。
14、考察矩阵和其逆阵、伴随阵的关系，同时把行列式加进来，综合性较强的重要题型。
15、16解简单的矩阵方程，注意先对已知等式做一些适当的变形，基本题。
14、15证明矩阵可逆，从定义出发即可，注意从题目中体会思路。
16、考察矩阵和其逆阵、伴随阵的关系，同时把行列式加进来，综合性较强的重要题型。
17、18稍微复杂一些的矩阵方程，因为其中涉及到伴随阵，但也不难，利用好伴随阵和逆阵的关系即可简化，此二题的难度接近考研中的填空题。
19、20是矩阵的乘方（多项式实质也是乘方）运算，在复习完一遍线代后再看发现这其实就是特征值特征向量（对角化）的一个应用，实际上
特征值问题本来就可以理解为是为了寻找矩阵乘方运算的捷径而发展起来的，只不过后来发现特征值还有许多其它很好的用处。
21、22证明矩阵可逆，从可逆的定义出发即可，即若能找到某一矩阵与已知矩阵的乘积为单位阵，那么已知矩阵肯定可逆，注意从这两道题目中体会这种常用的思路。
23、24题本身的证明是从定义出发，更重要的是这两道题可以作为结论记的，线代的考研题目常涉及这两个命题。在线代的学习中，把握好一些不是课本上正面给出（如出现于习题中）的命题是很有好处的。
25、26、27、28都是对分块矩阵运算的考查，作为适当的练习，是必要的。在分块矩阵这部分知识点特别要注意的是：要能够根据问题的需要采取适当的分块方式，典型的如行分块和列分块，一个线性方程组可以用矩阵Ax=b来表示，一个矩阵方程AX=B则可看作是若干个线性方程组A(x1 x2 ... xn)=(b1 b2 ... bn)同时成立的结果，当然这只是一个典型的里子，其它还有很多类似的点也要熟练到能够在头脑中随时切换，以适应不同的解题或理解需要。
和第一章类似，第二章的学习也主要集中在计算层面上，我们可以这样来理解，前两章的内容主要是教会我们一些线性代数中基本的运算规则，就如我们以前学数的加减乘除一样，这些规则当然是认为规定的，但是又是在解决某些实际问题的过程中会大量用到的，所以有必要先统一进行了解和学习，比如求行列式可以帮助我们解方程，求矩阵的乘积可以帮助我们进行坐标变换，等等。 同济五版《线性代数》习题解读（三） 1、用初等变换把矩阵化为最简行阶梯形，基本运算的练习，实际上也可以化为阶梯行而不一定非要最简，这类计算要多加练习，需纯熟掌握。
2、3表面上是要求一个能使已知矩阵化为行最简形的可逆阵，实际上是
考察初等矩阵，因为化为行最简形的过程就是初等变换过程，对应的是一系列初等矩阵的乘积，把这一过程搞清楚了，要求的矩阵也就相应清楚了。要知道一个初等矩阵对应一个初等变换，其逆阵也是，从这个意义上去理解可以有效解决很多问题。
4、求矩阵的逆阵的第二种方法（第一种是伴随阵），基本题，同时建议把这两种方法的来龙去脉搞清楚（书上相应章节有解释），即为什么可以通过这两种方法求逆阵。
5、6是解矩阵方程，关键还是求逆，复习过一遍线代的同学就不用拘泥于一种方法了，选择自己习惯的做法即可。
7、考察矩阵秩的概念，所以矩阵的秩一定要搞清楚：是不为零的子式的最高阶数。所以秩为r的话只需要有一个不为零的r阶子式，但所有的r+1阶子式都为零；至于r-1阶子式，也是有可能为零的，但不可能所有的都为零，否则秩就是r-1而不是r了。
8、还是涉及矩阵的秩，矩阵减少一行，秩最多减1，也可能不减，不难理解，但自己一定要在头脑中把这个过程想清楚。
9、主要考查矩阵的秩和行（列）向量组的秩的关系，实际上它们是一致的，因为已经知道的两个向量是线性无关的，这样此题就转化为一个简单问题：在找两个行向量，与条件中的两个行向量组成的向量组线性无关，最后由于要求方阵，所以还要找一个向量，与前面四个向量组和在一起则线性相关，最容易想到的就是0向量了。
10、矩阵的秩是一个重要而深刻的概念，它能够反映一个矩阵的最主要信息，所以如何求矩阵的秩也就相应的是一类重要问题。矩阵的初等行（列）变换都不会改变其秩，所以可以混用行、列变化把矩阵化为最简形来求出秩。
11题是一个重要命题，经常可以直接拿来用，至于它本身的证明，可以从等价的定义出发：等价是指两个矩阵可以经过初等变换互相得到，而初等变换是不改变矩阵的秩的，所以等价则秩必相等。实际上11题因为太过常用，以至于我们常常认为秩相等才是等价的定义，不过既然是充分必要条件，这样理解也并无不可。
12、选取合适的参数值来确定矩阵的秩，方法不止一种，题目不难但比较典型。
13、14题是求解齐次、非齐次方程组的典型练习，务必熟练掌握。
15、线性方程组的逆问题，即已知解要求写出方程，把矩阵的系数看做未知数来反推即可，因为基础解系中自由未知量的个数和有效方程正好是对应的，个人感觉这类题不太重要。
16、17、18题是线性方程组的一类典型题，考研常见题型，讨论不同参数取值时解的情况，要熟练掌握这类题目。
19、证明本身不是很重要，重要的是由题目得到的启示：由一个向量及其转置（或一个列向量一个行向量）生成的矩阵其秩一定是1。这实际上也不难理解，矩阵的秩是1意味着每行（或每列）都对应成比例，即可以写成某一列向量乘行向量的形式，列向量的元素就是每行的比例系数，反过来也一样，这个大家可自行写一些具体的例子验证，加深印象。另外值得注意的是：列向量乘行向量生成的是矩阵，而行向量乘列向量生成的是数。
20、考察的是矩阵的运算对矩阵秩的影响，抓住R(AB)<=min(R(A),R(B))这个关键命题即可。或者从同解方程组角度出发，即要证明两个矩阵秩相等，可证其方程组同解。
21、注意A是否可逆未知，故不能用求逆的方法证明，这是易犯的错误之一。实际上该题考察的还是方程组只有零解的条件：满秩。关键一步在于把条件改写为A(X-Y)=0
前两章的习题以锻炼计算能力为主，从第三章开始理解层面的内容逐渐增多，很多概念要引起重视。 同济五版《线性代数》习题解读（四）
首先说一下，第四章的精华就在于勾勒出了向量组、矩阵和线性方程组之间的关系，它们共同形成一个线性代数的知识网络，习题四中的证明题基本上都是对思维的锻炼，做好这些证明题有助于加深对线代知识点相互关系的理解，要重点对待。
1、涉及一个重要的知识转换，即一个向量能否被另一个向量组线性表出的问题实际上就是一个线性方程组是否有解的问题，同时，一个向量组是否能被另一个向量组线性表出的问题实际上就是两个向量组的秩的比较问题，所以此题即转化为考察两个向量组的秩的大小。因为我们知道一个重要的事实：一个向量组不可能由比它秩更小的向量组来线性表出，例如，三维空间里的向量（秩是3）永远不可能由平面上的向量（秩是2）来表出。
2、考察向量组的等价，搞清楚何为向量组等价，直接验证即可，基本题。另外可以发散一下思维，向量组等价和矩阵等价有何不同？哪个命题的结论更强？实际上向量组等价则对应矩阵一定等价，反之未必。
3、与线性表出有关的命题，一般用反证法，这类题目可以有效的锻炼解题思路，如果不会要重点体会答案给出的方法和思路。
4、5题涉及线性相关和线性无关的判断，实际上还是转化为方程组有解无解的问题，基本题。
6题考察对两个向量线性相关的理解，实际上就是对应成比例，但实际上很多类似的题目不仅仅局限于两个向量，此题不是太有代表性，了解一下即可。
7、8涉及到一些相关和无关的命题判断，重点在于理解题干的意思，如8（1）的错误在于放大了线性相关的结论，因为线性相关只需要至少有一个向量可由其余向量表示，而不一定能确定到底是哪个向量能用其余向量表示，类似的去理解清楚其余几个说法要表达的意思，这是第一要务。至于反例倒在其次，可以通过参考书的答案看看，了解下有这样的反例即可。
9、10题是证明线性相关线性无关的经典题，可先假设其线性组合为零，然后推证系数的情况，若系数可不全为零则线性相关，若系数必须全为零则线性无关，重点题型。
11、12考察如何求一个向量组的秩和最大无关组，注意求向量组的秩只能用一种变换（一般用行变化），化为阶梯形即一目了然，基本题型的练习，要熟练掌握。
13、通过秩来确定参数，基本题，只不过这里是以向量组的形式给出条件，和以线性方程组、矩阵的形式给出条件无本质区别。
14、15是向量组的命题，注意单位坐标向量的特殊性：线性无关。另外14题就是15题的特殊情况。
16、用反证法，此题的巧妙之处在于要逐步递推，这是线代习题中少有的过程比结论重要的题目（大多习题都是结论常用所以显得更重要），注意仔细体会证明过程。
17、就是习题三的20题，只不过是以向量组的说法给出。
18、应该从此题中体会到的是：两个向量组等价，则其关系矩阵一定是满秩的，原因可用矩阵的语言来解释：两个向量组等价实际上就是通过一系列初等变换可互化，关系矩阵就是这些所所有初等变换对应的初等矩阵的乘积，初等矩阵全部都是满秩的。
19、题目本身不难，直接代入已知条件再作适当的变形即可，但复习过一遍线代的同学应该注意到，特征值与特征向量的一些概念在此题中已经初现端倪，要把思路拓宽，看看从特征向量的角度来看是否能对题目有新的体会。
20、齐次线性方程组的练习，基本题型，必需的练习，尤其是（3）这类系数由通式给出的方程，在考研中出现的概率更高，注意不要出错。
21、实际上转化为线性方程组的题目，也是基本题型。
22、就是习题三的15题，两者无本质区别。