5.1 直线与圆及圆锥曲线
1.(2017全国Ⅰ,文20)设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4. (1)求直线AB的斜率;
(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.
2.已知抛物线C:y=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.
(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.
3.(2017河北邯郸一模,文20)在平面直角坐标系xOy中,已知圆O1:(x+1)+y=1和
2
2
2
O2:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆O1外切,与圆O2内切.
(1)求圆心P的轨迹E的方程;
(2)过A(-2,0)作两条互相垂直的直线l1,l2分别交曲线E于M,N两点,设l1的斜率为
k(k>0),△AMN的面积为S,求的取值范围.
4.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为圆心的圆与直线x-y=4相切. (1)求圆O的方程;
(2)若圆O上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=2,求直线MN的方程;
(3)圆O与x轴相交于A,B两点,圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求的取值范围.
5.(2017河北张家口4月模拟,文20)已知点N(-1,0),F(1,0)为平面直角坐标系内两定点,点M是以N为圆心,4为半径的圆上任意一点,线段MF的垂直平分线交MN于点R. (1)点R的轨迹为曲线E,求曲线E的方程;
(2)抛物线C的顶点在坐标原点,F为其焦点,过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,与曲线
E交于P, Q两点,请问:是否存在直线l使A,F,Q是线段PB的四等分点?若存在,求出直线l的
方程;若不存在,请说明理由.
?导学号24190962?
6.已知椭圆E:=1(a>)的离心率e=,右焦点F(c,0),过点A的直线交椭圆E于P,Q两点. (1)求椭圆E的方程;
(2)若点P关于x轴的对称点为M,求证:M,F,Q三点共线; (3)当△FPQ面积最大时,求直线PQ的方程.
?导学号24190963?
5.1 直线与圆及圆锥曲线
1.解 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4,于是直线AB的斜率k==1.
(2)由y=,得y'=.
设M(x3,y3),由题设知=1,解得x3=2,于是M(2,1).
设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|. 将y=x+m代入y=得x-4x-4m=0. 当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2. 从而|AB|=|x1-x2|=4. 由题设知|AB|=2|MN|, 即4=2(m+1), 解得m=7.
所以直线AB的方程为y=x+7. 2.解 由题知F.
2
设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0, 且A,B,
P,Q, R.
记过A,B两点的直线为l, 则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.
(1)证明:由于点F在线段AB上,因此1+ab=0. 记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2, 则k1=
==-b=k2.
所以AR∥FQ.
(2)设直线l与x轴的交点为D(x1,0), 则S△ABF=|b-a||FD|
=|b-a|, S△PQF=.
由题设可得|b-a|
=,
所以x1=0(舍去),x1=1.
设满足条件的AB的中点为E(x,y). 当AB与x轴不垂直时, 由kAB=kDE可得(x≠1). 又=y,
所以y=x-1(x≠1).
当AB与x轴垂直时,点E与点D重合. 故所求轨迹方程为y=x-1. 3.解 (1)设动圆P的半径为r,
则|PO1|=r+1,|PO2|=3-r, 所以|PO1|+|PO2|=4.
所以P的轨迹为椭圆,且2a=4,2c=2. 所以a=2,c=1,b=.
2
2
所以椭圆的方程为=1(x≠2).
(2)设点M坐标为(x0,y0),直线l1的方程为y=k(x+2),代入=1,可得(3+4k)x+16kx+16k-12=0.
2
2
2
2
∵A(-2,0)在椭圆=1上, ∴x0×(-2)=, ∴x0=. ∴|AM|= =.
同理|AN|=.
∴S=|AM|·|AN| =,
,
令k+1=t>1,
2
= =,
所以∈(0,6).
4.解 (1)依题意,圆O的半径r等于原点O到直线x-y=4的距离,即r==2.
所以圆O的方程为x+y=4.
(2)由题意,可设直线MN的方程为2x-y+m=0. 则圆心O到直线MN的距离d=,故+()=2,即m=±. 所以直线MN的方程为2x-y+=0或2x-y-=0. (3)设P(x,y),由题意得A(-2, 0),B(2,0). 由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列, 得=x+y, 即x-y=2.
因为=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=2(y-1). 因为点P在圆O内, 所以 由此得y<1.
2
2
2
22
2
2
2
2
2
所以的取值范围为[-2,0). 5.解 (1)由题意,|RM|=|RF|,
∴|RF|+|RN|=|RM|+|RN|=|MN|=4>|NF|=2. ∴R的轨迹是以N,F为焦点的椭圆,且a=2,c=1,b=. ∴曲线E的方程为=1.
(2)抛物线C的顶点在坐标原点,F为其焦点,抛物线的方程为y=4x. 假设存在直线l使A,F,Q是线段PB的四等分点,则|AF|=|FB|. 直线l斜率显然存在,设方程为y=k(x-1)(k≠0), 设A(x1,y1),B(x2,y2),
把直线方程代入抛物线方程,整理可得ky-4y-4k=0,
2
2
∴y1+y2=,① y1y2=-4.② ∵|AF|=|FB|, ∴=-2,③
由①②③解得k=±2.
当k=2时,直线l的方程为y=2(x-1), 解得A,B(2,2).
直线与椭圆方程联立解得P,Q.
∵yB≠2yQ,∴Q不是FB的中点,即A,F,Q不是线段PB的四等分点.
同理可得当k=-2时,A,F,Q不是线段PB的四等分点.
∴不存在直线l使A,F,Q是线段PB的四等分点.
6.(1)解 由得a=,c=ea==2,
则b=a-c=2,
2
2
2
∴椭圆E的方程是=1.
(2)证明 由(1)可得A(3,0),设直线PQ的方程为y=k(x-3),
由方程组