哈尔滨工程大学本科生毕业论文
Chan算法是一种具有解析表达式解的非递归的双曲线方程组解法。该算法的特点是计算量小，在噪声服从高斯分布的环境下，定位精度高。但在非视距(NLOS)环境下，Chan算法的定位精度显著下降。下面根据参与定位的基站数目分两种情况进行讨论。
1、基站数为3时的算法
当有效测量基站数为3时，可得到两个TDOA测量值，先假定R1为己知，则MS位置(x,y)可由式(3.10)按以下形式解出：
2??X2,1Y2,1??x?1?R2,1?K2?K1????R2,1?????R????2?? (3.13) ?X??1?y?YRR?K?K2?3,1???31???3,1?3,1??3,1???1式中，
K1?X12?Y12
2K2?X2?Y22 K3?X32?Y32
将式(3.13)代入式(3.4)，令i?1，得到一个关于R1的二次方程，将其正根代入式(3.13)，就得到MS的估计位置。在某些情况下，可能有两个正根，这种模糊性可由有关先验信息进行选择。
2、基站数为4个以上时的算法
当有效测量基站数为4个以上时，该算法能利用网络提供的所有TDOA测量值并取得更好的计算结果。此时TDOA测量值数目多于未知量数目，因此，初始非线性TDOA方程组应首先转换为线性方程组，然后采用加权最小二乘算法(WLS)得到一初始解，再利用第一次得到的估计位置坐标及附加变量等已知的约束条件进行第二次WLS估计，最后便能得到改进的估计位置。
TT令za?[zTp,R1]为未知矢量，其中zp?[x,y]，从式(3.10)中求出的具有
TDOA噪声的误差矢量为：
0 (3.14) ψ?h?Gaza式中，
16
哈尔滨工程大学本科生毕业论文
?R22,1?K2?K1??2?1?R3,1?K3?K1?h?
??2??2?R?K?K?M,1?M1???X2,1Y2,1?XY3,13,1?Ga??????XM,1YM,1R2,1?R3,1?? ???RM,1?0在此我们定义无噪声时?*?的表达式为?*?，故di,j?di0,j?ni,j，
000di,j?di0,j?ni,j；又由于Ri?Ri,1?R1，可得噪声的误差矢量为：
ψ?cBn?0.5c2n⊙n (3.15)
式中，
000 B?diagR2,R3,?,RM??式中，⊙代表Schur乘积。当SNR高时，由广义互相关方法(GCC)检测的TDOA测量值通常为高斯数据，服从近似的正态分布，因此噪声矢量n也服从近似的正态分布，误差矢量的协方差矩阵便可算出。在实际应用中条件cni,1??Ri0通常可以满足，因而式(3.15)中第二项可以忽略，误差矢量ψ成为具有以下协方差矩阵的高斯随机矢量:
Ψ?E[ψψT]?c2BQB (3.16)
其中，Q为TDOA协方差矩阵，za中R1与式(3.4)有关，表明式(3.14)仍然是以x和y为变量的非线性方程组。
求解该非线性方程组时首先假定x，y和R1之间无关，然后通过WLS算法进行第一次求解。最终结果可通过将已知关系(R1与x，y之间关系即式(3.4))代入第一次的结果中，再进行一次WLS计算得出。这两步是对MS位置的最大似然(ML)估计的近似。
如果假定za的元素相互独立，za的ML估计为：
za?argmin(h?Gaza)TΨ?1(h?Gaza)TT?(GaΨ?1Ga)?1GaΨ?1h?? (3.17)
17
哈尔滨工程大学本科生毕业论文
该式是式(3.14)的WLS解，目前该式还不能解出，因为B中含有MS和各基站发射机之间的距离，故Ψ仍然是未知量。为此，需作进一步近似。
当MS与各BS距离很远时，Ri0(i?2,3,?M)与R0(定义距离)接近，故
B?R0I。由于Ψ的量纲没有什么影响，式(3.17)可近似为
T?1T?1za?(GaQGa)?1GaQh (3.18)
如果MS与各BS距离较近，利用上式可得到一初始解用于计算B矩阵，第一次WLS计算的结果可由式(3.17)得到。
为进行第二次WLS计算，需首先计算估计位置za的协方差矩阵。该矩
T阵可通过计算za的期望值及zaza得到。由于Ga含有随机量Ri,1，直接计算很
困难，该协方差矩阵可采用扰动方法计算。在有噪声的情况下：
Ri,1?Ri0,1?cni,1 (3.19)
0且Ga?Ga??Ga，h?h0??h。
00za?h0，式(3.14)表明： 由于Ga0ψ??h??Gaza (3.20)
0??za，由式(3.17)可得： 令za?za0TT000TT(Ga??Ga)Ψ?1(Ga??Ga)(za??za)?(Ga??Ga)Ψ?1(h0??h) (3.21)
保留线性扰动分量，再利用式(3.15)和式(3.20)，?za及其协方差矩阵为：
0T0?10T?za?c(GaΨ?1Ga)GaΨ?1Bn (3.22) 0T?10?1cov(za)?E[?za?zTa]?(GaΨGa) (3.23)
其中，忽略了式(3.15)的平方项，式(3.22)用于计算cov(za)。
上述有关za的计算过程假定x，y和Ri是相互独立的。事实上式(3.4)表明它们是相关的，因此，我们可以利用这种关系来改进定位估计。当TDOA测量误差较小时这种偏差可以忽略，矢量za为一均值为实际值，协方差矩阵由式(3.13)确定的随机矢量，因此za中各元素可表示为：
za,1?x0?e1， za,2?y0?e2， za,3?R10?e3 (3.24)
其中，e1，e2，e3为za的估计误差。za的前两个元素减去X1，Y1，再对各
18
哈尔滨工程大学本科生毕业论文
元素求平方可得另一方程组：
ψ??h??Gaz?a (3.25)
式中，
?(za,1?X1)2??10??(x?X1)2??2?????01，z?h???(za,2?X2)?，Ga a??2???2?(y?Y1)???z??11a,3????这里ψ?定义为za的误差变量。将式(3.24)代入式(3.25)中得： ??2(x0?X1)e1?e12?2(x0?X1)e1ψ1020ψ?2?2(y?Y1)e2?e2?2(y?Y1)e2 (3.26) 020ψ??2Re?e?2R31331e3这里的近似只有在误差ei较小时才能成立，该过程是对ML估计的又一近似。
ψ?的协方差矩阵：
Ψ??E[ψ?ψ?T]?4B?cov(za)B? (3.27)
其中，
B??diag{x0?X1,y0?Y1,R10}
由于ψ为高斯分布，因此ψ?也为高斯分布，z?a的ML估计为：
?T??1Ga?)?1Ga?TΨ??1h? (3.28) z?a?(GaΨ矩阵Ψ?由于含有MS真实位置，因此为一未知量。不过，B?能通过使
0用za值计算出，式(3.22)和式(3.23)中的Ga可以使用Ga近似，式(3.16)中的B能使用式(3.18)的计算结果进行近似。如果MS处在较远距离，za协方差矩阵可近似表示为：
0T0?1cov(za)?c2R0(GaQ?1Ga) (3.29)
2式(3.28)可简化为：
?T??1T?1??1??1?T??1T?1??1)h? (3.30) z?a?(GaBGaQGaBGa)(GaBGaQGaB?为常量，代入z???T矩阵Gaa和z?aza后，za的协方差矩阵为：
?T???1cov(z?a)?(GaΨGa) (3.31)
最终MS定位计算结果为：
19
哈尔滨工程大学本科生毕业论文
?X1??X1???zp?za??? 或 zp??za??? (3.32) ?Y1??Y1?选择位于定位区域内的zp作为问题的解。如果z?a的某个坐标接近于零，式(3.32)中的平方根为虚数，这种情况可将其设为零，定位估计的协方差矩阵可
00由式(3.25)中的z?a加上x?x?ex，y?y?ey得到：
0202z?a,1?(x?X1)?2(x?X1)ex?ex0202z?a,2?(y?Y1)?2(y?Y1)ey?ey (3.33)
22与x0，y0相比，ex，ey很小，可省略ex，ey，利用式(3.16)、(3.22)、(3.27)、
和(3.32)进行定位估计，估计值zp的协方差矩阵Φ为：
Φ?cov(zp)?1?1???1B??cov(z?a)B (3.34) 40T?1?1?10?TB??1Ga?B??)?1?c2(B??GaBQBGaB??1Ga式中，
?(x0?X1)?0B????? 00(y?Y1)??4个以上基站的Chan算法可归纳为：远距离MS的位置可通过式(3.18)、(3.30)和式(3.32)进行估计，定位估计的协方差矩阵可由式(3.34)计算；定位近距离MS时，由式(3.18)可计算出一近似B矩阵，再分别采用式(3.17)、(3.28)和式(3.32)计算出定位结果，定位估计的协方差矩阵可由式(3.34)计算。在TDOA距离差误差较小时该算法给出了能达到CRLB的表达式解，但也需要有关MS位置的先验信息以解决式(3.32)中存在的不确定性。在文献中该算法的推导过程都是基于TDOA误差较小且为理想的零均值高斯随机变量这个前提，因此可以预计，对于实际信道环境中误差较大的TDOA测量值，该算法的性能将受到较大影响。
3.3 定位准确率的评价指标
双曲线定位的准确率需要一系列指标进行评价，文中将定位解的平均估计坐标(MV)和均方误差(MSE)作为算法性能的评价标准。
20