§2.2 函数的单调性与最值
1.以选择或填空题的形式考查函数的单调性；2.考查求函数最值的几种常用方法；3.利用函数的单调性求参数的取值范围．
1.从数、形两种角度理解函数的单调性与最值；2.判断复合函数的单调性；3.含参函数的最值，对参数进行讨论．
1． 函数的单调性 (1)单调函数的定义
增函数 减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变定义 量x1，x2 当x1
前提 条件 结论 [难点正本 疑点清源] 1． 函数的单调性是局部性质
函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M. M为最大值 (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M. M为最小值 自左向右看图象是下降的 征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调． 2． 函数的单调区间的求法
函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的 定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数 函数、指数函数等；
如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调 性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间． 3． 单调区间的表示
单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不 能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．
1． (2012·安徽)若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________. 2． (2011·江苏)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是______________． 3． (课本改编题)函数f(x)＝
2x
在[1,2]的最大值和最小值分别是__________． x＋1
4． 已知函数y＝f(x)在R上是减函数，A(0，－2)、B(－3,2)在其图象上，则不等式－2 的解集为________． 5． 如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是( ) 11 A．a>－ B．a≥－ 4411 C．－≤a<0 D．－≤a≤0 44题型一 函数单调性的判断 ax 例1 试讨论函数f(x)＝ (a≠0)在(－1,1)上的单调性． x－1 思维启迪：可利用定义或导数法讨论函数的单调性． 探究提高 证明函数的单调性用定义法的步骤：取值—作差—变形—确定符号—下结论． a (1)已知a>0，函数f(x)＝x＋ (x>0)，证明函数f(x)在(0，a]上是减函数，在[a，＋∞)上 x 是增函数； (2)求函数y＝x2＋x－6的单调区间． 题型二 利用函数单调性求参数 ax－1 例2 若函数f(x)＝在(－∞，－1)上是减函数，求实数a的取值范围． x＋1 思维启迪：利用函数的单调性求参数的取值范围，解题思路为视参数为已知数，依据函 数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参． 探究提高 已知函数的单调性确定参数的值或范围，可以通过解不等式或转化为不等式 恒成立问题求解；需注意的是，若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的 任意子集上也是单调的． (1)若函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的减函数，则a的取值范围为____________． x－5 (2)函数y＝在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是 ( ) x－a－2A．a＝－3 B．a<3 C．a≤－3 D．a≥－3 题型三 利用函数的单调性求最值 2 例3 已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－. 3 (1)求证：f(x)在R上是减函数； (2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值． 思维启迪：问题(1)对于抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值，证明f(x)为单调减函数的首选方法是用单调性的定义来证．问题(2)用函数的单调性即可求最值． 探究提高 对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质 f?x1? 和相应的条件，对任意x1，x2在所给区间内比较f(x1)－f(x2)与0的大小，或与1的大小．有时根据 f?x2?x1需要，需作适当的变形：如x1＝x2·或x1＝x2＋x1－x2等；利用函数单调性可以求函数最值． x2 x1? 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f??x?＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时， 2 f(x)<0. (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的单调性； (3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值． 忽视函数的定义域致误 1 典例：(10分)求函数y＝log(x2－3x)的单调区间． 3 易错分析 忽视函数的定义域，认为x的范围是全体实数，导致错误． 温馨提醒 函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．如果是复合函数，应该根据复合函数单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，根据同增异减的法则求解函数的单调区间．由于思维定势的原因，容易忽视定义域，导致错误． 2.函数的单调性与最值 典例：(12分)(2012·太原模拟)函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1， 并且x>0时，恒有f(x)>1. (1)求证：f(x)在R上是增函数； (2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2. 审题视角 (1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出f(x2)－f(x1)并与 0比较大小．(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本小题的切入点．要构造出f(M) 温馨提醒 本题对函数的单调性的判断是一个关键点．不会运用条件x>0时，f(x)>1.构 造不出f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1的形式，找不到问题的突破口．第二个关键应该是将不 等式化为f(M)