习题六
1.设总体X~N（60，152），从总体X中抽取一个容量为100的样本，求样本均值与总体均值
之差的绝对值大于3的概率. 【解】μ=60,σ2=152,n=100
Z?X??~N(0,1)
?/nX?60~N(0,1)
15/10即 Z?P(|X?60|?3)?P(|Z|?30/15)?1?P(|Z|?2)
?2[1??(2)]?2(1?0.9772)?0.0456.
2.从正态总体N（4.2，52）中抽取容量为n的样本，若要求其样本均值位于区间（2.2,6.2）内的概率不小于0.95，则样本容量n至少取多大？ 【解】
Z?X?4~N(0,1) 5/n2.2?4.26.2?4.2n?Z?n)
55P(2.2?X?6.2)?P( ?2?(0.4n)?1?0.95,
则Φ(0.4n)=0.975，故0.4n>1.96, 即n>24.01，所以n至少应取25?
3.设某厂生产的灯泡的使用寿命X~N（1000，σ2）（单位：小时），随机抽取一容量为9的样
本，并测得样本均值及样本方差.但是由于工作上的失误，事后失去了此试验的结果，
只记得样本方差为S2=1002，试求P（X＞1062）. 【解】μ=1000,n=9，S2=1002
t?X??X?1000?~t(8)
100/3S/nP(X?1062)?P(t?1062?1000)?P(t?1.86)?0.05
100/34.从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上，求总体的标准差. 【解】Z?
1
X??~N(0,1)，由P(|X-μ|>4)=0.02得
?/nP|Z|>4(σ/n)=0.02,
??410???410??故2?1???,即?0.02??????0.99. ?????????????查表得
410??2.33,
所以 ??410?5.43. 2.335.设总体X~N（μ，16），X1，X2，…，X10是来自总体X的一个容量为10的简单随机样本，
S2为其样本方差，且P（S2＞a）=0.1，求a之值.
9S29a??【解】??~?2(9),P(S2?a)?P??2???0.1.
1616??29a?14.684, 1614.684?16?26.105. 所以 a?9查表得
6.设总体X服从标准正态分布，X1，X2，…，Xn是来自总体X的一个简单随机样本，试问统计量
5n2(?1)?Xi5i?1Y=
?Xi?6n，n＞5
2i服从何种分布？ 【解】?i?22?Xi?152i~?(5),?2??Xi2~X2(n?5)
22i?1n且?1与?2相互独立. 所以
2X12/5Y?2~F(5,n?5)
X2/n?57.求总体X~N（20，3）的容量分别为10，15的两个独立随机样本平均值差的绝对值大于
0.3的概率. 【解】令X的容量为10的样本均值，Y为容量为15的样本均值,则X~N(20,310),
Y~N(20,
3)，且X与Y相互独立. 15则X?Y~N?0,
?33????N(0,0.5), ?1015?2
那么Z?所以
X?Y~N(0,1), 0.50.3??P(|X?Y|?0.3)?P?|Z|???2[1??(0.424)]
0.5?? ?2(1?0.6628)?0.6744.
X1?X2???X108.设总体X~N（0，σ）,X1,…,X10,…,X15为总体的一个样本.则Y= 2222X11?X12???X152
222??服从 分布,参数为 . 【解】
Xi?~N(0,1),i=1,2,…,15.
102215?Xi??Xi?2222那么?1???~?(10),??2????~?(5)
i?1???i?11???且?1与?2相互独立, 所以
2X12???X10X12/10Y??2~F(10,5) 222(X11???X15)X2/522所以Y~F分布，参数为（10,5）.
9.设总体X~N（μ1,σ2）,总体Y~N(μ2,σ2),X1,X2,…,Xn1和Y1，Y2，…，Xn2分别来自总体X和
Y的简单随机样本，则
n2?n122???(Xi?X)??(Yj?Y)?j?1?= . E?i?1??n1?n2?2????1n11n222【解】令 S?(Xi?X),S2?(Yi?Y), ??n1?1i?1n2?1j?121则
?(Xi?1n1i2?X)?(n1?1)S,?(yj?y)2?(n2?1)S2,
221j?1n2又??那么
21(n1?1)S12?2~?(n1?1),??2222(n2?1)S2?2~?2(n2?1),
3
n2?n122?(X?X)?(Y?Y)?j??i?1i?1j?12??E??E(?2?12??2?2)
??n1?n2?2n1?n2?2?????
?2n1?n2?22[E(?12)?E(?2)]?2
?2
n1?n2?2[(n1?1)?(n2?1)]??212n10.设总体X~N（μ,σ），X1，X2，…，X2n（n≥2）是总体X的一个样本，X??Xi，令
2ni?1Y=
?(Xi?1ni?Xn?i?2X)2，求E(Y).
【解】令Zi=Xi+Xn+i, i=1,2,…,n.则
Zi~N(2μ,2σ2)(1≤i≤n),且Z1,Z2,…,Zn相互独立.
nZi22令 Z??, S??(Zi?Z)/n?1,
i?1ni?1nXi1n1则 X???Z?Z, ?i2ni?12i?12n故 Z?2X 那么
2nY??(Xi?Xn?i?2X)??(Zi?Z)2?(n?1)S2,
2i?1i?1nn所以
E(Y)?(n?1)ES2?2(n?1)?2.
11. 设总体X的概率密度为f(x)=e本，其样本方差为S2，求E(S2).
解： 由题意，得
12?x (-∞ ?1xe, x?0,??2f(x)?? 1?e?x,x?0,??2 4 E(S2)?D(X)?E(X2)?E2(X)??1???x于是 E(X)??xf(x)dx??xedx?0 ????2????1???xE(X2)??x2f(x)dx??x2edx??x2e?xdx?2,??02??所以 E(S2)?2. 5