4． (2013·重庆)已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成
等比数列，则S8＝________. 答案 64
解析 因为a1，a2，a5成等比数列，则a2a5，即(1＋d)2＝1×(1＋4d)，d＝2.所以an2＝a1·
a1＋a8×8
＝1＋(n－1)×2＝2n－1，S8＝＝4×(1＋15)＝64.
2
1
5． (2013·江苏)在正项等比数列{an}中，a5＝，a6＋a7＝3.则满足a1＋a2＋…＋an>a1a2…an
2
的最大正整数n的值为________． 答案 12
1
解析 由已知条件a5＝，a6＋a7＝3，
2
11
即q＋q2＝3，整理得q2＋q－6＝0， 22解得q＝2，或q＝－3(舍去)．
1n－5n－6－
an＝a5qn5＝×2＝2，
2
1
a1＋a2＋…＋an＝(2n－1)，
32n2－11na1a2…an＝222…2
－5－4－3
n－6
＝2 ，
n2－11n＋10
2
2
由a1＋a2＋…＋an>a1a2…an可知2n>2 ＋1， n≤12.
一、选择题
1． (2013·课标全国Ⅱ)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1等于( )
1
A. 3答案 C
解析 设等比数列{an}的公比为q，由S3＝a2＋10a1得a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，即a3＝9a1，
1
q2＝9，又a5＝a1q4＝9，所以a1＝.
94
2． 已知{an}为等差数列，a2＋a8＝，则S9等于 ( )
3
A．4 答案 C
49×3a1＋a94
解析 ∵{an}为等差数列，∴a2＋a8＝a1＋a9＝，∴S9＝＝＝6.
322
B．5
C．6
D．7
1
B．－
3
1C. 9
1D．－
9
An7n＋45an3． 已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整Bnn＋3bn
数的正整数n的个数是 A．2 答案 D
解析 由等差数列的前n项和及等差中项，
11a1＋a2n－1n－a1＋a2n－1
2A2n－1n－＋4514n＋38an2
可得＝＝＝＝＝
bn11B2n－1n－＋32n＋2
b＋bn－b1＋b2n－1212n－127n＋1912an＝＝7＋ (n∈N*)，故n＝1,2,3,5,11时，为整数．
bnn＋1n＋1
4． 已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，
n∈N*，则S10的值为 A．－110 C．90 答案 D
解析 ∵a3＝a1＋2d＝a1－4，a7＝a1＋6d＝a1－12，a9＝a1＋8d＝a1－16，又∵a7是a3与a9的等比中项，∴(a1－12)2＝(a1－4)·(a1－16)，解得a1＝20.
1
∴S10＝10×20＋×10×9×(－2)＝110.
2
1
5． 已知数列{an}满足1＋log3an＝log3an＋1(n∈N＋)，且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)
3
的值是 1
A. 5答案 D
an＋1
解析 由1＋log3an＝log3an＋1得＝3，{an}为等比数列，公比为3.
an∴a5＋a7＋a9＝27(a2＋a4＋a6)＝27×9＝35，
11∴log(a5＋a7＋a9)＝log35＝－5.
33
6． 已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示数列{an}的前n项
和，则使得Sn取得最大值的n是 A．21 答案 B
解析 设数列{an}的公差是d，则a2＋a4＋a6－(a1＋a3＋a5)＝3d＝99－105＝－6，即d＝－2. 又3a3＝105，所以a3＝35.
所以an＝a3＋(n－3)d＝41－2n.令an>0得n<20.5，
即数列{an}的前20项均为正，自第21项起以后各项均为负，因此使得Sn达到最大值的n为20.
B．20
( )
( )
1
B．－
5
( )
( )
B．3 C．4 D．5
B．－90 D．110
C．5 D．－5
C．19 D．18
二、填空题
21
7． (2013·课标全国Ⅰ)若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝_______.
33
答案 (－2)n1
－
解析 当n＝1时，a1＝1；当n≥2时，
22
an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，
33
an－故＝－2，故an＝(－2)n1. an－1
an＋2－an＋18．在数列{an}中，如果对任意n∈N*都有＝k(k为常数)，则称数列{an}为等差比数
an＋1－an
列，k称为公差比．现给出下列问题： ①等差比数列的公差比一定不为零； ②等差数列一定是等差比数列；
③若an＝－3n＋2，则数列{an}是等差比数列； ④若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比． 其中正确命题的序号为________． 答案 ①③④
解析 若k＝0，{an}为常数列，分母无意义，①正确；公差为零的等差数列不是等差比
an＋2－an＋1an＋2－an＋1－
数列，②错误；＝3，满足定义，③正确；设an＝a1qn1(q≠0)，则＝an＋1－anan＋1－an
＋
a1qn1－a1qn
正确． －＝q，④
a1qn－a1qn19． (2013·辽宁)已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－
5x＋4＝0的两个根，则S6＝________. 答案 63
解析 ∵a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两根，且q＞1， ∴a1＝1，a3＝4，则公比q＝2，
1×－26
因此S6＝＝63.
1－2
10． (2012·浙江)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3a2＋2，S4＝3a4
＋2，则q＝________.
3答案 2
解析 方法一 S4＝S2＋a3＋a4＝3a2＋2＋a3＋a4＝3a4＋2， 将a3＝a2q，a4＝a2q2代入得，
3a2＋2＋a2q＋a2q2＝3a2q2＋2，化简得2q2－q－3＝0，
3
解得q＝(q＝－1不合题意，舍去)．
2方法二 设等比数列{an}的首项为a1，由S2＝3a2＋2，得
a1(1＋q)＝3a1q＋2.①
由S4＝3a4＋2，得a1(1＋q)(1＋q2)＝3a1q3＋2.② 由②－①得a1q2(1＋q)＝3a1q(q2－1)．
3
∵q>0，∴q＝.
2三、解答题
11．(2013·福建)已知等差数列{an}的公差d＝1，前n项和为Sn.
(1)若1，a1，a3成等比数列，求a1； (2)若S5>a1a9，求a1的取值范围．
解 (1)因为数列{an}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比数列， 所以a2(a1＋2)， 1＝1×
即a21－a1－2＝0，解得a1＝－1或a1＝2. (2)因为数列{an}的公差d＝1，且S5>a1a9， 所以5a1＋10>a21＋8a1，
1
12．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝，且2Sn＝2Sn－1＋2an－1＋1(n≥2，n∈N*)．数列{bn}
4
3
满足b1＝，且3bn－bn－1＝n(n≥2，n∈N*)．
4
(1)求证：数列{an}为等差数列； (2)求证：数列{bn－an}为等比数列； (3)求数列{bn}的通项公式以及前n项和Tn. (1)证明 ∵2Sn＝2Sn－1＋2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，
1
∴当n≥2时，2an＝2an－1＋1，可得an－an－1＝.
2∴数列{an}为等差数列．
1(2)证明 ∵{an}为等差数列，公差d＝，
2
111
∴an＝a1＋(n－1)×＝n－.
224又3bn－bn－1＝n(n≥2)，
11∴bn＝bn－1＋n(n≥2)，
33
1111
∴bn－an＝bn－1＋n－n＋ 3324
111＝bn－1－n＋ 364113＝(bn－1－n＋) 324111＝[bn－1－(n－1)＋] 3241
＝(bn－1－an－1)， 3即a21＋3a1－10<0，解得－5
1
又b1－a1＝≠0，
2
bn－an1
∴对n∈N*，bn－an≠0，得＝(n≥2)．
bn－1－an－1311
∴数列{bn－an}是首项为，公比为的等比数列．
231?1?n－1n11?1?n－1*
(3)解 由(2)得bn－an＝·，∴b＝－＋·(n∈N)． n
2?3?242?3?
1??1?n?1－
2??3??
∵b1－a1＋b2－a2＋…＋bn－an＝，
11－33?1?n?. ∴b1＋b2＋…＋bn－(a1＋a2＋…＋an)＝?1－
4??3??
2
n3?1?n?. ∴Tn－＝?1－
44??3??n23??1?n?∴Tn＝＋?1－?3??(n∈N*)．
44