图2.1Mallat快速算编程思想
将小尺度尺度系数和低通（高通）滤波器系数进行添零到数据长度，然后进行fft变换，再进行2抽样，最后相加就能得到大尺度尺度系数和小波系数。具体实现过程见实验部分。
2.2 小波提升算法
第一代小波的小波基是由定义在空间上的函数而今伸缩平移生成。其具有若干局限性，如小波结构依赖于傅里叶变换，仅适用于规则采样数据等。故W.Sweldens等人提出了一种不依赖于傅里叶变换的新的双正交小波的构造方法——提升法（lifting scheme）。这种方法保留了小波特性，同时又克服了原有的局限性；其主体思想是：始于非常简单的MRA,然后向具有某一特性的MRA逐渐逼近（提升）。其复杂度只有原来卷积方法的一半左右，因此成为计算离散小波变换的主流方法。其实lifting scheme就是为了构造第二代小波，使得不像第一代小波那样构造，非常依赖Fourier变换。同时已经证明了提升方式可以实现所有的第一代小波变换。 提升方式的特点:
1.继承了第一代小波的多分辨率的特性 2.不依赖傅立叶变换 3.不占用系统内存
4.反变换很容易从正变换得到，只是改变了数据流的方向和正负号 正因为小波提升样式由于其计算速度快，占用内存少，可以实现整数变换等等特点所以被JPEG 2000所推荐作为小波变换，是JPEG 2000里面的核心算法。
其通过预测和更新两个提升环节实现信号的高低频分离，由于信号有局部相关性，某一点的信号值可以通过其相邻的信号的值通过适当的预测算子预测出来，同时预测出来的误差就是高频的信息，从而这个过程就是预测环节。预测环节下面得到的高频信息又通过更新算子来调整信号的下抽样来得到低频信息，这个过程就是更新环节，在整个的提升算法中，更新环节叫做primary lifting，而预测环节叫做dual lifting。
实际上，小波提升的核心就是更新算法和预测算法，通过预测算法可以得到高频信息，而通过更新算子可以得到正确的低频信息。提升样式可以实现原位计算和整数提升，并且变换的中间结果是交织排列的。其中原位计算和整数提升在硬件实现中很有价值。 ? 原位计算
提升样式中一个很大的特点就是进行小波变换的时候在原位计算各个系数。原位计算，只是占用了跟输入大小相同的空间，不需要其他的辅助空间。 ? 整数提升
在传统的小波变换算法中(即Mallat算法)，采取了输入信号与高通和低通滤波器相卷积的方法来实现高频和低频信息的分离。但是小波滤波器的系数都是小数，中间结果中有一些是小数，如果对小数进行取整，会丢失很多信息，使得重构和分解是不可逆，从而无法实现精确重构。但是在提升方案中，可以进行整数变换，并且整数变换是不影响精确重构。
分解结果交织
以一维信号X进行分解为例:
X进行第一级分解，低频信息在奇数上面，高频在偶数上面，进行第二级分解，对第一级的低频信息进行分解，分解的结果则是在奇数数据中的奇数位数为低频信息，偶数位数为高频信息。小波提升的数学模型见图2.2.
图2.2小波提升的数学模型
2.3 应用
小波分析在图像处理中的应用主要体现在以下几个方面:图像压缩、图像消噪、图像增强、图像平滑和图像融合等。
图像压缩 图像数据往往存在各种信息的冗余,如空间冗余、信息熵冗余、视觉冗余和结构冗余等.如果需要进行快速或实时传输以及大量存储,在同等通信容量下,把图像数据压缩后再传输,就可以传输更多的图像信息,也就可以提高通信能力.小波分析用于图像压缩具有压缩比高、压缩速度快,压缩后能保持图像的特征基本不变的特点,且在传递过程中可以抗干忧.小波分析进行图像压缩的基本原理是:根据二维小波分解算法,一幅图像作小波分解后,可得到一系列不同分辨率的图像,而表现一幅图像最主要的部分是低频部分,如果去掉图像的高频部分而只保留低频部分,则可以达到图像压缩的目的。
图像消噪 图像在被采集、传输和恢复等过程中,不可避免地会被噪声污染.利用小波技术可有效地进行图像消噪处理。其步骤如下:①图像信号的小波分解。选择一个小波和小波分解的层次N,然后计算信号s到第N层的分解.对高频系数进行阈值量化.对于从第1到N的每一层,选择一个阈值,并对这一层的高频系数进行软阈值量化处理.②二维小波的重构.根据小波分解的第N层的低频系数和经过修改的从第1到N层的各层高频系数,计算图像信号的小波重构。
图像增强 小波变换将一幅图像分解为大小、位置和方向都不同的分量,在做逆变换之前可以改变小波变换域中某些系数的大小,这样就可以有选择地放大感兴趣的分量而衰减不重要的分量.图像轮廓主要体现在低频部分,而细节部分则体现在高频部分。
拓展：
3. 实验结果
由于编程能力有限，本文只采用Haar小波分别对图像进行处理分解、重构、去噪处理。首先是分别用mallat算法对lena图像进行分解和重构，结果见图3.1和3.2.
图3.1 Mallat算法图像分解
图3.2未设阈值时的图像重构
对lena图像增加一个服从高斯分布的随机噪声，采用Mallat算法对叠加噪声的图像进行分解后，对高频系数进行阈值处理，然后重构处理后的图像，观察不同阈值的去噪效果。实验结果见图3.3.
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