专业每年只招一个班，每个班有若干个学生，一个系的学生住在同一宿舍区，每个学生可以参加若干个社团，每个社团有若干学生。
描述学生的属性有：学号、姓名、出生年月、系名、班级号、宿舍区。 描述班级的属性有：班级号、专业名、系名、人数、入校年份。 描述系的属性有：系名、系号、系办公地点、人数。
描述社团的属性有：社团名、成立年份、地点、人数、学生参加某社团的年份。
请给出关系模式，写出每个关系模式的最小函数依赖集，指出是否存在传递函数依赖，对于函数依赖左部是多属性的情况，讨论函数依赖是完全函数依赖还是部分函数依赖。指出各关系的候选键、外部键，有没有全键存在?
各关系模式如下：
学生(学号,姓名,出生年月,系名,班级号,宿舍区) 班级(班级号,专业名,系名,人数,入校年份) 系(系名,系号,系办公地点,人数) 社团(社团名,成立年份,地点,人数）
加入社团（社团名，学号，学生参加社团的年份）
学生(学号,姓名,出生年月,系名,班级号,宿舍区)
●“学生”关系的最小函数依赖集为：
Fmin={学号→姓名,学号→班级号,学号→出生年月,学号→系名，系名→宿舍区} ●以上关系模式中存在传递函数依赖，如:学号→系名，系名→宿舍区 ●候选键是学号,外部键是班级号,系名。
notice: 在关系模式中，如果Y→X，X→A，且XY（X不决定Y）， A不属于X,那么称Y→A是传递依赖。
班级(班级号,专业名,系名,人数,入校年份)
●“班级”关系的最小函数依赖集为：
Fmin={(系名,专业名)→班级号,班级号→人数，班级号→入校年份，班级号→系名，班级号→专业名}
(假设没有相同的系，不同系中专业名可以相同) ●以上关系模式中不存在传递函数依赖。
●“(系名,专业名)→班级号”是完全函数依赖。 ●候选键是(系名,专业名),班级号，外部键是系名。
系(系名,系号,系办公地点,人数)
●“系”关系的最小函数依赖集为： Fmin={系号→系名,系名→系办公地点,系名→人数，系名→系号}
●以上关系模式中不存在传递函数依赖 ●候选键是系名,系号
社团(社团名,成立年份,地点,人数）
●“社团”关系的最小函数依赖集为： Fmin={社团名→成立年份,社团名→地点,社团名→人数)
●以上关系模式中不存在传递函数依赖。 ●候选键是社团名
加入社团（社团名，学号，学生参加社团的年份）
●“加入社团”关系的最小函数依赖集为： Fmin={（社团名，学号）→学生参加社团的年份) ●“（社团名，学号）→学生参加社团的年份”是完全函数依赖。
●以上关系模式中不存在传递函数依赖。 ●候选键是（社团名，学号）。
4.4 对函数依赖X→Y的定义加以扩充，X和Y可以为空属性集，用φ表示，那么X→φ，φ→Y，φ→φ的含义是什么?
根据函数依赖的定义，以上三个表达式的含义为：
(1)一个关系模式R(U)中，X，Y是U的子集，r是R的任一具体关系，如果对r的任意两个元组t1,t2, 由t1[X]=t2[X]必有t1[φ]=t2[φ]。即X→φ表示空属性函数依赖于X。这是任何关系中都存在的。
(2)φ→Y表示Y函数依赖于空属性。由此可知该关系中所有元组中Y属性的值均相同。 (3)φ→φ表示空属性函数依赖于空属性。这也是任何关系中都存在的。
4.5 已知关系模式R(ABC)，F={A→C，B→C},求F+。
可以直接通过自反律、增广律、传递律加以推广：
F+={φ→φ，A→φ，B→φ，C→φ，A→C，B→C，AB→φ，AB→A，AB→B，AB→C，AB→BC，AB→AB，AB→ABC，BC→φ，BC→C，BC→B，BC→BC，AC→φ，AC→C，AC→A，AC→AC，ABC→φ，ABC→A，ABC→B，ABC→C，ABC→BC，ABC→AB，ABC→ABC}
4.6 试分析下列分解是否具有无损联接和保持函数依赖的特点： (1)设R(ABC)，F1={A→B} 在R上成立，ρ1={AB,AC}。
首先，检查是否具有无损联接特点： 第1种解法--算法4.2:
A B C AB a1 a2 b13 AC a1 b22 a3 A B C a1 a2 b13 a1 a2 a3
(1) 构造表
(2)根据A→B进行处理
结果第二行全是a行，因此分解是无损联接分解。
第2种解法:(定理4.8) 设 R1=AB，R2=AC R1∩R2=A R2- R1=B
∵A→B,∴该分解是无损联接分解。
然后，检查分解是否保持函数依赖
πR1（F1）={A→B，以及按自反率推出的一些函数依赖}
πR2（F1）={按自反率推出的一些函数依赖}
F1被πR1（F1）所蕴涵，∴所以该分解保持函数依赖。
(2)设R(ABC)，F2={A→C，B→C}在R上成立，ρ2={AB,AC}
首先，检查是否具有无损联接特点： 第1种解法（略） 第2种解法:(定理4.8) 设 R1=AB，R2=AC R1∩R2=A R2- R1=C
∵A→C,∴该分解是无损联接分解。
然后，检查分解是否保持函数依赖
πR1（F2）={按自反率推出的一些函数依赖}
πR2（F2）={A→C，以及按自反率推出的一些函数依赖}
∵F1中的B→C没有被蕴涵，所以该分解没有保持函数依赖。
(3)设R(ABC)，F3={A→B},在R上成立,ρ3={AB,BC}.
首先，检查是否具有无损联接特点： 第1种解法： A B C AB a1 a2 b13 BC b21 a2 a3 A B C a1
a2 a3 a1 b22 a3
(1) 构造表
(2)根据A→B进行处理
没有一行全是a行。因此这个分解不具有无损联接特性。
第2种解法:(定理4.8) 设 R1=AB，R2=BC R1∩R2=B
R2- R1=C，R1- R2=A
∵B→C,B→A不在F3中∴该分解不具有无损联接特性。
然后，检查分解是否保持函数依赖
πR1（F3）={A→B，以及按自反率推出的一些函数依赖} πR2（F3）={按自反率推出的一些函数依赖}
F1被πR1（F3）所蕴涵，所以该分解保持函数依赖。 (4)设R(ABC)，F4={A→B，B→C}在R上成立，ρ4={AC,BC}
首先，检查是否具有无损联接特点： 第1种解法（略）
第2种解法:(定理4.8)
设 R1=AC，R2=BC R1(AC)∩R2(BC)=C R2- R1=B，R1- R2=A
∵C→B,C→A不在F4中∴该分解不具有无损联接特性。
然后，检查分解是否保持函数依赖
πR1（F2）={按自反率推出的一些函数依赖}
πR2（F2）={B→C，以及按自反率推出的一些函数依赖}
∵F1中的A→B没有被蕴涵，所以该分解没有保持函数依赖。
4.7 设R=ABCD,R上的函数依赖集F={A→B，B→C，A→D，D→C},R的一个分解ρ={AB,AC,AD},求:(1)F在ρ的每个模式上的投影。(2)ρ相对于F是无损联接分解吗?(3)ρ保持依赖吗? (1)