?n1??i(x)?1?2(x?xi)??k?0xi?xk?k?i??i(x)?(x?xi)li2(x)??l2(x)i? ??H2n?1(x)??[yi?i(x)?mi?i(x)]i?0n
Hermite插值的余项
f(2n+2)(x)2R(x)=f(x)-H2n+1(x)=wn+1(x)(2n+2)!Hermite插值也存在Runge现象
例题
步骤3、写出Hermite多项式插值结果：H5(x)?y0H0(x)?y1H1(x)?y2H2(x)?y'0H'0(x)?y'1H'1(x)?y'2H'2(x)
步骤3、写出Hermite多项式插值结果：H5(x)?y0H0(x)?y1H1(x)?y2H2(x)?y'0H'0(x)?y'1H'1(x)?y'2H'2(x)
Hermite插值结果，保留了f’(x)的特征 多项式插值结果，没有保留了f’(x)的特征
样条插值
三次样条函数是由分段三次曲线连接而成，且二阶导数连续的函数。
样条插值的构建： 由Sj(x)是[xj?1,xj]上的三次多项式，则 S''j(x)在[xj?1,xj]是线性函数（即每段是直线段）。S(x)?Mj?1''jxj-xhj?Mjx-xj?1hjhj?xj-xj-1?a(xj-x)hj?b(x-xj?1)hj
其中：S''j(xj)?MjSj(x)?Mj?1(xj-x)36hjj?0,1,...,n?Mj6hj(x-xj?1)3该公式有四个参数需要确定：Mj?1，Mj，a，b由Sj(xj)?f(xj),Sj-1(xj)?f(xj),可求出a、b，即:?Mj?1hj2?a?f(xj?1)-?6 ?2Mjhj?b?f(x)-j?6?通过上述公式，a，b可由Mj ，Mj-1计算， 上式中Mj可利用一阶导数在节点的连续性求解， 即由：S'j(xj-0)?S'j-1(xj?0)