选择适当的次序进行积分.
例4 设f(x,y)连续，求证
?证 上式左端可表为
badx?f(x,y)dy??dy?f(x,y)dx.?
aayxbb?badx?f(x,y)dy???f(x,y)dσ，
aDx其中D:a?x?b，a?y?x (图10—12)?区域D也可表为：a?y?b，y?x?b，
图10—12
于是改变积分次序，可得
??Df(x,y)d???dy?f(x,y)dx?
aybb由此可得所要证明的等式.
例5 计算二重积分??Dsinxdσ，其中D是直线y?x与抛物线y?x2所围成的区域.? x解 把区域D表示为x型区域，即D=?x,y?|0?x?1,x2?y?x.于是?
1xsinx1?sinxsinxdσ?dxdy?y???dx 2?????0x0?xxx?x2Dx?????1?x?sinxdx
01???cosx?xcosx?sinx?
0?1?sin1?0.1585
1注：如果化为y型区域即先对x积分，则有?
1ysinxsinxdσ?dydx.? ????0yxxD由于sinx的原函数不能由初等函数表示，往下计算就困难了，这也说明计算二重积分时，
x
除了要注意积分区域D的特点（区分是x型区域，还是y型区域）外，还应注意被积函数的特点，并适当选择积分次序.?
2.2 二重积分的换元法
与定积分一样，二重积分也可用换元法求其值，但比定积分复杂得多.我们知道，对定积分
?f?x?dx作变量替换x?φ(t)时，要把f?x?变成f?φ?t??，dx成对应t的值.同样，对二重积分??f?x,y?d?作变量替换
ab变成φ?(t)dt,积分限a,b也要变
D?x?x?u,v?,? ?y?yu,v,???? 11
f?x,y?fx?u,v?,y?u,v??时，既要把变成?，还要把xOy面上的积分区域D变成uOv面上的区
域Duv，并把D中的面积元素dσ变成Duv中的面积元素dσ*.其中最常用的是极坐标系的情形.?
2.2.1 极坐标系的情形?
下面我们讨论利用极坐标变换，得出在极坐标系下二重积分的计算方法.把极点放在直角坐标系的原点，极轴与x轴重合，那么点P的极坐标P?r,ζ?与该点的直角坐标P?x,y?有如下互换公式：?
x?rcosζy,?rsζin;?r0????ζ,?0π； 2y;???x,y???. x我们知道，有些曲线方程在极坐标系下比较简单，因此，有些二重积分?
??f?x,y?d?
r?x2?y2,ζ?arctanD用极坐标代换后，计算起来比较方便，这里假设z?f?x,y?在区域D上连续.?
在直角坐标系中，我们是以平行于x轴和y轴的两族直线分割区域D为一系列小矩形，从而得到面积元素dσ?dxdy.?
在极坐标系中，与此类似，我们用“r?常数”的一族同心圆，以及“ζ?常数”的一族过极点的射线，将区域D分成n个小区域?σij?i,j?1,2,?,n?，如图10—13所示.?
图10—13
小区域面积
21?σij???ri??ri??ζj?ri2?ζj?
?2?1?ri?ri?ζj??ri2?ζj.
2
记 ?πij?则有?
r??ζ??j,?i,j???i221?,?2,n, ?，
?σij?ri?ri?ζj?ο?πij,?
故有?
dσ?rdrdζ.?
??则?
??f?x,y?dσ???f?rcosζ,rsinζ?rdrdζ.?
DD这就是直角坐标二重积分变换到极坐标二重积分的公式.在作极坐标变换时，只要将被积函
数中的x,y分别换成rcosζ,rsinζ，并把直角坐标的面积元素dσ?dxdy换成极坐标的面积元素
12
rdrdζ即可.但必须指出的是：区域D必须用极坐标系表示.?
在极坐标系下的二重积分，同样也可以化为二次积分计算.下面分三种情况讨论：? (1) 极点O在区域D外部，如图10—14所示.?
图10—14
设区域D在两条射线ζ?α,ζ?β之间，两射线和区域边界的交点分别为A,B，将区域D的
［α,β］边界分为两部分，其方程分别为r?r1?ζ?,r?r2?ζ?且均为上的连续函数.此时?
D???r,ζ?|r1?ζ??r?r2?ζ?,α?ζ?β?.?
于是?
??f?rcosζ,rsinζ?rdrdζ??dζ?Dαβr2?ζ?r1?ζ?f?rcosζ,rsinζ?rdr
(2) 极点O在区域D内部，如图10—15所示.若区域D的边界曲线方程为r?r?ζ?，这时积分区域D为?
D???r,ζ?|0?r?r?ζ?,0?ζ?2π?，
且r?ζ?在??0,2π??上连续.
图10—15
于是?
??f?rcosζ,rsinζ?rdrdζ??dζ?D02πr?ζ?0f?rcosζ,rsinζ?rdr.?
(3) 极点O在区域D的边界上，此时，积分区域D如图10—16所示.?
图10—16
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D???r,ζ?|α?ζ?β,0?r?r?ζ??,?
且r?ζ?在??0,2π??上连续，则有?
??f?rcosζ,rsinζ?rdrdζ??dζ?Dαβr?ζ?0f?rcosζ,rsinζ?rdr.?
在计算二重积分时，是否采用极坐标变换，应根据积分区域D与被积函数的形式来决定.
?y?一般来说，当积分区域为圆域或部分圆域，及被积函数可表示为fx2?y2或f??等形式时，
?x?常采用极坐标变换，简化二重积分的计算.?
例6 计算二重积分
???I???D1?x2?y2dxdy，
1?x2?y2其中D??x,y?|x2?y2?a2?0?a?1?.?
解 在极坐标系中积分区域D为?
D???r,ζ?|0?r?a,0?ζ?2π?,?
??则有
I???D2πa1?r21?x2?y2dxdy?d??0?01?r2rdr 1?x2?y2?π?a0a1?r21?t2rdr令t?rπdt 2?021?r1?t2?πarcsint?1?t?2?a20?πarcsina2?1?a2?1.
???例7 计算二重积分??xy2d?，其中D是单位圆在第I象限的部分.?
D?解 采用极坐标系. D可表示为0?ζ?π， 0?r?1（图10-17），
2图10-17
于是有?
22??xyd???d??rcos??rsin??rdr D002π21??cosζsin2ζdζ?r4dr?00π211.? 15?
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例8 计算二重积分??x2d?，其中D是二圆x2?y2?1和x2?y2?4之间的环形闭区域.?
D解 区域D：0?ζ?2π，1?r?2，如图10—18所示.
图10—18
于是
222??xd???d??rcos??rdr??D012π22π0
21?cos2?15d??r3dr?π.
1242.2.2. 直角坐标系的情形?
我们先来考虑面积元素的变化情况.?
设函数组x?x(u,v)，y?y(u,v)为单值函数，在Duv上具有一阶连续偏导数，且其雅可比行列式
?(x,y)?0,
?(u,v)则由反函数存在定理，一定存在着D上的单值连续反函数
u?u(x,y)，v?v(x,y).?
这时Duv与D之间建立了一一对应关系，uOv面上平行于坐标轴的直线在映射之下成为
J?xOy面上的曲线u(x,y)?u0，v(x,y)?v0.我们用uOv面上平行于坐标轴的直线
u?ui，v?vj (i?1,2,?,n;j?1,2,?,m)
将区域Duv分割成若干个小矩形，则映射将uOv面上的直线网变成xOy面上的曲线网（图10—19）.?
图10—19?
在Duv中任取一个典型的小区域ΔDuv (面积记为Δσ*)及其在D中对应的小区域ΔD (面积记为Δσ)，如图10—20所示.?
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