2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数学试题（文史类）
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 1. 复数(2?i)2等于（ ）
A．3?4i B．5?4i C．3?2i D．5?2i 2. 已知集合M?{1,2,3,4}，M?{?2,2}，下列结论成立的是（ ）
A．N?M B．M?N?M C．M?N?N D．M?N?{2}
????3. 已知向量a?(x?1,2)，b?(2,1)，则a?b的充要条件是（ ）
A．x??12 B．x??1 C．x?5 D．x?0
4. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是（ ）
A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱 5.已知双曲线
xa22?y25?1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于（ ）
A．
31414 B．
324 C．
32 D．
43
6.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s值等于（ ）
A．?3 B．?10 C．0 D．?2 7.直线x?3y?2?0与圆x?y22?4相交于A,B两点，则弦AB的长度等于（ ）
A．25 B．23 C．3 D．1 8.函数f(x)?sin(x?A．x??4?4)的图像的一条对称轴是（ ）
B．x??2 C．x???4 D．x???2
?1,x?0?1,x为有理数?f(x)?0,x?0g(x)?9.设，???0,x为无理数??1,x?0?，则f(g(?))值为（ ）
A．1 B．0 C．?1 D．x??
?x?y?3?0?10.若直线y?2x上存在点(x,y)满足约束条件?x?2y?3?0，则实数m的最大值为( )
?x?m?A．?1 B．1 C．
32 D．2
n?211.数列{an}的通项公式an?ncos，其前n项和为Sn，则S2012等于（ ）
A．1006 B．2012 C．503 D．0
12.已知f(x)?x3?6x2?9x?abc,a?b?c，且f(a)?f(b)?f(c)?0，现给出如下结论：①f(0)f(1)?0；②f(0)f(1)?0；③f(0)f(3)?0；④f(0)f(3)?0。
其中正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。 13.在?ABC中，已知?BAC?600，?ABC?450，BC?3，则AC?_______。
14.一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人。按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是_______。
15.已知关于x的不等式x2?ax?2a?0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_________。
16.某地图规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，求表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小。例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的路线图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10。
现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为____________。
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分12分）
在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1?b1?1,b4?8，{an}的前10项和S10?55。
（Ⅰ）求an和bn；
（Ⅱ）现分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率。
18.（本小题满分12分）
某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
???（I）求回归直线方程y?bx?a，其中b??20,a?y?bx
（II）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得
最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入—成本）
19.（本小题满分12分）
如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?AD?1,AA1?2，M为棱DD1上的一点。 （I）求三棱锥A?MCC1的体积；
（II）当A1M?MC取得最小值时，求证：B1M?⊥平面MAC。
20.（本小题满分12分）
某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。 （1）sin2130?cos2170?sin130cos170； （2）sin2150?cos2150?sin150cos150； （3）sin2180?cos2120?sin180cos120； （4）sin2(?130)?cos2480?sin(?18)0cos480； （5）sin2(?250)?cos2550?sin(?25)0cos550。 （I）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（II）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。
21.（本小题满分12分）
如图，等边三角形OAB的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E:x2?2py(p?0)上。 （I）求抛物线E的方程；
（II）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y??1相交于点Q。证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某
定点。
22.（本小题满分14分）
已知函数f(x)?axsinx?32(a?R),且在[0,?2]上的最大值为
??32。
（I）求函数f(x)的解析式；
（II）判断函数f(x)在(0,?)内的零点个数，并加以证明。