加速收敛的有效算法,但该算法每算一步,需两次迭代,其效率不够高。
(5) 解非线性方程的插值方法 Lagrange 插值公式需要进行提高插值多项式次数的插值计算是不方便的。这些方法它们各有优缺点 二分法的优点是对函数f(x)的性态要求不高,只需连续即可,且计算程序简单,能保证收敛。其缺点是收敛速度较慢??只能求实函数的实零点??重或奇数重零点。该方法一般用于确定方程根或函数实零点的粗略位置,为快速收敛的算法提供初值。Newton 法的主要优点是收敛速度快,缺点是其收敛性是局部收敛,要求初始值0 x 选在精确解* x 附近才能保证收敛。割线法迭代一次仅需计算函数值f( k x )",可保留作为下次迭代用,且避免了计算导数。
第2 章 非线性方程的数值解法
满足非线性方程f(x)=0 的解x ,称为方程的根或零点。一般用迭代法求非线性方程的根。通常,非线性方程的根不是唯一的,而任何一种方法一次只能算出一个根。因此,在求解非线性方程时,要给定初始条件或求解范围。根可为实数或复数,也称为实根或复根。 二分法",
二分法是求方程近似解的一种简单直观的方法。设函数f(x)在[a,b]上连续,且f(a)f(b)<0,则f(x)在[a,b]上至少有一零点??是微积分中的介值定理[1],也是使用二分法的前提条件。计算中通过对分区间缩小区间范围的步骤搜索零点的位置。
二分法是对逐步搜索法的一种改进。对于有根区间[ a, b ], 如果取
x0= (a+ b)?2,则0 x 将其分为两半; 然后通过检查f ( 0 x ) 与f (a)是否同号来判断根的位置(见图1)。
如此反复二分, 即可得出一系列的有根区间; 其中,每个区间都是前一个区间的一半。当K→∞时, 该区间的大小趋近于零, 其值便为所求方程f (x) = 0 的根。由此可见, 二分法算法简单, 在允许的误差范围内通过有限次的计算,总能求得方程在该有根区间的根。
二分法求根算法",
计算f(x)=0 的一般计算步骤如下
step1??入求根区间[a,b]和误差控制量ε??义函数f(x)。 IF",f(a) f(b)〈0 〉THEN 做step2 ELSE 退出选用其他求根方法 step 2",WHILE", |a-b|>ε",
计算中点x=(a+b)/2 以及f(x)的值;分情况处理
| f(x)|〈 ε ??止计算x ", =x,转向step4 f(a) f(x)<0??正区间[a,x]->[a,b] f(x) f(b)<0: 修正区间[x,b]->[a,b] ENDWHILE
step 3: x ", =(a+b)/2。 Step 4:输出近似根x 。
二分法的算法简单??而??f(x)在[a,b]上有几个零点时??能算出其中一个零点??一方面??使f(x)在[a,b]上有零点.也未必有f(a) f(b)<0。这就限制了二分法的使用范围。二分法只能计算方程f(x)=0 的实根。 迭代法",
迭代法的局部收敛性及收敛的阶
一种迭代过程，只有具备了收敛性，才能表明其迭代的有效性，同时还需要考察其迭代过程的收敛速度[3]，即其在接近收敛的过程中迭代误差的下降速度。迭代计算过程不收敛，可能是因为迭代格式本身构造不成功，那么算法必须重新构造，也可能是初值选择不当",这时往往可通过调整初值解决 牛顿迭代法
设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。
解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数 f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f'(x0)(x－x0)=0 设f'(x0)≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f'(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))。
军人在进攻时常采用交替掩护进攻的方式，若在数轴上的点表示A，B两人的位置，规定在前面的数大于后面的数，则是A>B，B>A交替出现。但现在假设军中有一个胆小鬼，同时大家又都很照顾他，每次冲锋都是让他跟在后面，每当前面的人占据一个新的位置，就把位置交给他，然后其他人再往前占领新的位置。也