总练习题六(2)答案(2)

17．设在上半平面D={(x,y)|y>0}内，函数f(x,y)具有连续偏导数，且对任意的t>0都有f(tx,ty)=t?2f(x,y).证明：对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有??∫Lyf(x,y)dx?xf(x,y)dy=0. 利用曲线积分与路径无关的条件齐次函数求导性质解：令P(x,y)=yf(x,y),Q(x,y)=?xf(x,y)，则 ?Q?x=?f(x,y)?xfx,y),?Px′(?y=f(x,y)+yfy′(x,y). 将f(tx,ty)=t?2f(x,y)两边对t求导得 xfx′(tx,ty)+yfy′(tx,ty)=?2t?3f(x,y). 令 t=1，则xfx′(x,y)+yfy′(x,y)=?2f(x,y) 则由此可得 ?Q?P?x=?y. ∴ ?? ∫Lyf(x,y)dx?xf(x,y)dy=0.解: （1）在不包含原点的单连通区域内，任取两条具有相同起点与终点的曲线 C1和C2，再补上一条光滑曲线C3，使C1+C3和C2+C3成为围绕原点的正向闭曲线，由题意知 y??∫xdy?ydxxdy?ydxC1+C32y2+?(x)=??∫C2+C32y2+?(x)C2?∫xdy?ydxxdy?C1C12y2+?(x)=∫ydxC22y2+?(x)Ox即在任一不包含原点的单连通区域内， C3曲线积分与路径无关。 18．已知曲线积分??∫xdy?ydxC2y2+?(x)≡A(A为常数)，其中函数?(x)具有连续导数，且?(1)=1，C是围绕原点一周的任一正向闭曲线， （1）证明在任一不包含原点的单连通区域内，曲线积分∫xdy?ydxC2y2+?(x)与路径无关； （2）求函数?(x)的表达式，并求A的值. 积分与路径无关的问题！（2） P=?y2y2+?(x) ，Q=x2y2+?(x) ?P2y2??(x)?Q2y2+?(x)?x?′(x)?y=[2y2+?(x)]2?x=[2y2+?(x)]2由（1）知， 当(x,y)≠(0,0)时， ?P??y=Q?x?2y2??(x)=2y2+?(x)?x?′(x)?′(x)?2x?(x)=0??(x)=Cx2由?(1)=1得，C=1 ，即?(x)=x2， 取C为正向椭圆x2+2y2=1，则 A=??∫xdy?ydxCx2+2y2=??∫Cxdy?ydx=2∫∫dxdy=2π?1?1=2πD26