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门 第三产业 3 第一章 MATLAB入门
0.2 1.8 15 20 假设某经济年度工业，农业及第三产业的最后需求均为17亿元，预测该经济年度工业，农业及第三产业的产出（提示：对于一个特定的经济系统而言，直接消耗矩阵和Leontief矩阵可视作不变）。
6. 求下列矩阵的行列式、逆、特征值和特征向量
?11?41?1????（1）?32?6? （2）?02?1?53???12????1???1? (3) 0???5765????71087??68109? ???57910????56???156??（4） n阶方阵?15??, n分别为5, 50, 和500.
????6????15??
7. 判断第6题各小题是否可以相似对角化，如果是，求出对角矩阵和对应的相似变换矩阵。
8. 判断第6题各小题是否为正定矩阵。
9. 求下列向量组的秩和它的一个最大线性无关组，并将其余向量用该最大无关组线性表示。 ?1= (4, -3, 1,3), ?2= (2, -1, 3, 5), ?3= (1, -1, -1, -1), ?4= (3, -2, 3, 4), ?5= (7, -6, -7, 0) 10．（二次型标准化）用正交变换化下列二次型为标准形 f (x1, x2, x3) = x12 - 4 x 1 x 2 + 4 x 1 x 3 -2 x 22 +8 x 2 x 3 -2 x 32 ?
11. （电路网）图3.1是连接三个电压已知终端的电路网，求a, b, c点的电压。
4? b 3? 2? a 0V 20V
3?
5? 5V c 3?
图3.1 电路图
第一章 MATLAB入门 7
?123????
12. (Hamilton-Carley定理)就矩阵A = ?456?验证下列性质
?780???
(i) 设?1, ?2, ?, ?n为n阶方阵A的特征值，则
n??i?1ni =
?ai?1nii(A的迹),
??i?1i= (-1)n?A?;
(ii) 设f (x)为A的特征多项式, 则f (A) = 0。
8 第一章 MATLAB入门
习题 4
1 求下列多项式的所有根, 并进行验算。
(1) x2+x+1; (2) 3x5-4x3+2x-1; (3) 5x23-6x7+8x6-5x2;
(4) (2x+3)3-4 (提示：先用conv展开)
2 求方程xln(x2?1?x)?x2?1?0.5x?0的正根。
3 用MATLAB指令求解第一章习题4。
4 (超越方程) 超越方程的解有时是很复杂的，作出
f (x) = x sin (1/x)
在[ - 0.1, 0.1]内的图，可见在x = 0附近f (x) = 0有无穷多个解，并设法求出它们的近似解，使计算结果误差不超过0.01。
5 求解下列非线性方程组在原点附近的根
?9x2?36y2?4z2?36?22 ?x?2y?20z?0?16x?x3?2y2?16z2?0?
6 求解下列方程组在区域 0
???0.7sin??0.2cos? ????0.7cos??0.2sin?
7 (椭园的交点) 两个椭圆可能具有0～4个交点，求下列两个椭园的所有交点坐标
(x - 2) 2 + (y - 3 + 2x) 2 = 5 2 (x-3)2 + (y/3) 2 = 4
8 作出下列函数图形，观察所有的局部极大, 局部极小和全局最大, 全局最小值点的粗略位置; 并用MATLAB函数fminbnd和fminsearch求各极值点的确切位置 (1) f(x)=x2sin(x2-x-2), [-2,2]; (2) f(x)=3x5-20x3+10, [-3, 3];
(3) f(x)=? x3-x2-x-2? [0, 3].
第一章 MATLAB入门 9
9 考虑函数 f(x,y)= y3/9+3x2y+9x2+y2+xy+9 (1)作出f(x,y)在-2 10. 假定某天的气温变化记录如第二章习题5，试用最小二乘方法找出这一天的气温变化规律。考虑下列类型函数, 作图比较效果，并计算均方误差。 (1) 二次函数； (2) 三次函数； (3) 钟形函数f(x)?aeb(t?14)； (4) 函数f(x)?rsin(2?12t??). 11 (化学反应平衡) 一等克分子数一氧化碳(CO)和氧气(O2)的混合物在300K和5bar压力下达到平衡，理论反应方程式为 CO + 0.5 O2 ? CO2 实际反应方程式为 CO + N2 ? x CO + 0.5 (1 +x) O2 + (1 - x) CO2 剩余CO比值x满足化学平衡方程式 Kp?(1?x)1052.?x 0?x?1 x1?xp这里Kp = 3.06, p = 5 bar求x. 12 (月还款额)作为房产公司的代理人，你要迅速准确回答客户各方面的问题。现在有个客户看中了你公司一套建筑面积为180平方米，每平方单价7500元的房子。他计划首付30%，其余70%用20年按揭贷款（贷款年利率5.04%）。请你提供下列信息：房屋总价格、首付款额、月付还款额。如果其中10万元为公积金贷款（贷款年利率4.05%）呢？ 13（栓牛鼻的绳子）农夫老李有一个半径10米的圆形牛栏，里面长满了草，老李要将家里一头牛栓在一根栏桩上，但只让牛吃到一半草，他想让上大学的儿子告诉他，栓牛鼻的绳子应为多长？ ? 14 (弦截法)牛顿迭代法是一种速度很快的迭代方法，但是它需要预先求得导函数。若用差商代替导数，可得下列弦截法 xk?1?xk?xk?xk?1f(xk) f(xk)?f(xk?1) 10 第一章 MATLAB入门 这一迭代法需要两个初值x0, x1，编写一个通用的弦截法计算机程序并用以解习题2。(提示: 函数参数求值用MATLAB函数feval) ? 15 (线性迭代) 迭代过程 x k+1 = g (x k) 的收敛性主要条件是在根的附近满足?g ‘ (x)?<1。从理论上证明线性迭代 x k+1 = a x k + 1 只有两种极限形态：不动点或无穷大。分别就a=0.9, -0.9, 1.1, -1.1 (取x0 =1, 迭代20步)用图形显示迭代过程的不同表现(提示：用subplot将4个子图放在一个图形窗口比较) ? 16 (通道中的细杆) 要运送一根细杆子通过由宽5cm和宽10cm的通道垂直交叉口，在运送过程中必须保持杆子是水平的(如图4.6)，问这根细杆至多可有多长？又通道为园柱形的且细杆不必保持水平，细杆至多可有多长？ 5cm ? ? ? 17 证明当且仅当3 19 (Henon吸引子) 混沌和分形的著名例子，迭代模型为 2?xk?1?1?yk?14.xk ?y?0.3xk?1k?图4.6 取初值x0 = 0, y0 = 0, 进行3000次迭代，对于k>1000, 在(xk, yk) 处亮一点(注意不要连线)可得 所谓Henon引力线图.