（4）E语文得3分，物理得5分； （5）D的历史得4分。
试求题目中未直接给出的各人其它各科的成绩？
讲解:先从五人的总分入手，再扣掉A的得分，得出B、C、D、E四人的总分，再从得分最低的E出发进行推断，即可逐步得出结果。
（1）由已知可得5人的总分为5×(1+2+3+4+5)=75分。 因A得24分，故B、C、D、E共得75－24=51分 又E两科得8分，故E（还有三科）至少得11分
稍加验算可知：B、C、D、E的得分情况应该是15、13、12、11。
（2）E两科8分，总分11分，因而E的英语、历史、数学各得1分。 （3）A的总分是24分，故只有一科得4分，其它各科均是5分，因E的物理得4分，故语文、历史、数学、英语各五分。
（4）C的总分为13分，且有四科得分相同，故得分情况只能是一科五分，四科各2分或一科1分，四科各3分。因5分为A、E所得，则C的四科各得3分，一科得1分，又因E语文得3分，故C语文得1分，其余各科得3分。
（5）D的总分是12分，历史得4分，余下8分，因全部5分为A、E所得，全部3分为C、E所得，四个1分为C、E所得，故除历史外，D的其它各科各得2分。
显然，B的语文、数学、英语皆得4分，历史2分，物理1分。
【例9】赵、钱、孙、李四人，一个是教师，一个是售货员，一个是工人，一个是机关干部。试根据以下条件，判断这四人的职业。
（1）赵和钱是邻居，每天一起骑车上班； （2）钱比孙年龄大； （3）赵在教李打太极拳； （4）教师每天步行去上班；
（5）售货员的邻居不是机关干部； （6）机关干部和工人互不相识；
（7）机关干部比售货员和工人年龄都大。
【分析】由条件（4）和条件（1）可知赵、钱都不是教师。由条件（2）和条件（7），可推知孙不是干部。如果是的话，钱不是工人或售货员，钱又不是教师。于是，钱也是干部，矛盾。这样我们得到下表。下面几步推理也用表格说明。
四、利用图形辅助推理
用心 爱心 专心
美国数学家斯蒂恩说过:“如果一个特定的问题可以被转化成一个图形,那么,思想就整体地把握了问题,并且能创造性地思索问题解法。”
A、B、C、D、E五支球队进行单循环比赛（每两支球队间都要进行一场比赛），当比赛进行到一定阶段时，统计A、B、C、D四个球队已经赛过的场数，依次为A队4场，B队3场，C队2场，D队1场，这时，E队已赛过的场数是（）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解：用五个点分别表示A、B、C、D、E五支球队，将它们之间比赛的情况用图1表示出来。
A队已经赛过4场，由于是“单循环比赛”，这说明A与B、C、D、E四支球队各赛了1场；D队赛过1场，是与A队赛过的；B队3场，不可能与D队比赛，是与A、C、E各赛1场；C队2场，是与A、B赛的，从图中可以看出，E队已经赛了2场。
用心 爱心 专心
七、递推关系的建立及在信息学竞赛中的应用
瞬息变幻的世界，每一件事物都在随时间的流逝发生着微妙的变化。而
在这纷繁的变幻中，许多现象的变化是有规律的，这种规律往往呈现出前因和后果的关系。即是说，某种现象的变化结果与紧靠它前面变化的一个或一些结果紧密关联。所谓“三岁看老”，说的就是这个道理。这一道理也正体现了递推的思想。递推关系几乎在所有的数学分支中都有重要作用，在一切向“更快、更高、更强”看齐的当今信息学奥林匹克竞赛中更因简洁高效而显示出其独具的魅力。在递推关系发挥重要作用的今天，深入研究其性质、特点便成为一件十分必要的事情。本文就将围绕着递推关系的三大基本问题中的如何建立递推关系展开论述，并通过例题说明递推关系在当今信息学竞赛中的应用。
一、 递推关系的定义
相信每个人对递推关系都不陌生，但若要说究竟满足什么样的条件就是
递推关系，可能每个人又会有不同的说法。为了更好地研究递推关系，首先让我们明确什么是递推关系。
【定义1】给定一个数的序列H0,H1,?,Hn,?若存在整数n0，使当n?n0时,可以用等号(或大于号、小于号)将Hn与其前面的某些项Hn(0?i 二、 递推关系的建立 递推关系中存在着三大基本问题：如何建立递推关系，已给的递推关系 有何性质，以及如何求解递推关系。建立递推关系的关键在于寻找第n项与前面几项的关系式，以及初始项的值。它不是一种抽象的概念，是需要针对某一具体题目或一类题目而言的。在下文中，我们将对五种典型的递推关系的建立作比较深入具体的讨论。 1．四种典型的递推关系 Ⅰ.Fibonacci数列 在所有的递推关系中，Fibonacci数列应该是最为大家所熟悉的。在最基础的程序设计语言Logo语言中，就有很多这类的题目。而在较为复杂的Basic、Pascal、C语言中，Fibonacci数列类的题目因为解法相对容易一些，逐渐退出了竞赛的舞台。可是这不等于说Fibonacci数列没有研究价值，恰恰相反， 用心 爱心 专心 一些此类的题目还是能给我们一定的启发的。 Fibonacci数列的代表问题是由意大利著名数学家Fibonacci于1202年提出的“兔子繁殖问题”(又称“Fibonacci问题”)。 问题的提出：有雌雄一对兔子，假定过两个月便可繁殖雌雄各一的一对小兔子。问过n个月后共有多少对兔子？ 解：设满x个月共有兔子Fx对，其中当月新生的兔子数目为Nx对。第x-1个月留下的兔子数目设为Ox对。则： Fx=Nx+Ox 而 Ox=Fx-1， Nx=Ox-1=Fx-2 (即第x-2个月的所有兔子到第x个月都有繁殖能力了) ∴ Fx=Fx-1+Fx-2 边界条件： F0=0，F1=1 由上面的递推关系可依次得到 F2=F1+F0=1，F3=F2+F1=2，F4=F3+F2=3，F5=F4+F3=5，??。 Ⅱ.Hanoi塔问题 问题的提出：Hanoi塔由n个大小不同的圆盘和三根木柱a,b,c组成。开始时，这n个圆盘由大到小依次套在a柱上，如图1所示。 a b c 图1 要求把a柱上n个圆盘按下述规则移到c柱上： (1)一次只能移一个圆盘； (2)圆盘只能在三个柱上存放； (3)在移动过程中，不允许大盘压小盘。 问将这n个盘子从a柱移动到c柱上，总计需要移动多少个盘次？ 解：设hn为n 个盘子从a柱移到c柱所需移动的盘次。显然，当n=1时，只需把a 柱上的盘子直接移动到c柱就可以了，故h1=1。当n=2时，先将a 用心 爱心 专心 柱上面的小盘子移动到b柱上去；然后将大盘子从a柱移到c 柱；最后，将b柱上的小盘子移到c柱上，共记3个盘次，故h2=3。以此类推，当a柱上有n(n?2)个盘子时，总是先借助c柱把上面的n-1个盘子移动到b柱上，然后把a柱最下面的盘子移动到c柱上；再借助a柱把b柱上的n-1个盘子移动到c柱上；总共移动hn-1+1+hn-1个盘次。 ∴hn=2hn-1+1 边界条件：hn-1=1 Ⅲ.平面分割问题 问题的提出：设有n条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭曲线恰好相交于两点，且任何三条封闭曲线不相交于同一点，问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。 1 1 2 4 3 5 3 1 4 7 8 2 6 14 6 10 11 3 12 2 1 8 4 5 9 7 13 n=1 n=2 图2 n=3 n=4 解：设an为n条封闭曲线把平面分割成的区域个数。 由图2可以看出：a2-a1=2；a3-a2=4；a4-a3=6。从这些式子中可以看出an-an-1=2(n-1)。当然，上面的式子只是我们通过观察4幅图后得出的结论，它的正确性尚不能保证。下面不妨让我们来试着证明一下。当平面上已有n-1条曲线将平面分割成an-1个区域后，第n-1条曲线每与曲线相交一次，就会增加一个区域，因为平面上已有了n-1条封闭曲线，且第n条曲线与已有的每一条闭曲线恰好相交于两点，且不会与任两条曲线交于同一点，故平面上一共增加2(n-1)个区域，加上已有的an-1个区域，一共有an-1+2(n-1)个区域。所以本题的递推关系是an=an-1+2(n-1)，边界条件是a1=1。 平面分割问题是竞赛中经常触及到的一类问题，由于其灵活多变，常常让选手感到棘手， Ⅳ.Catalan数 用心 爱心 专心