帮你总结梯形中的辅助线
1.平移梯形一腰或两腰,把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中,同时还得到平行四边形．
【例1】 分析:平移一腰BC到DE,将题中已知条件转
化在同一等腰三角形中解决,即AB=2CD. 证明：过D作
,交AB于E.∵ AB平行于CD,且
,
∴四边形形.∴
是菱形.∴ 又
, ∴
又 ∴∴
为等边三角.
M 、∴
【例2】解：过E 作EM∥AB ,EN ∥DC ,分别交BC 于N ,∵
, ∴
是直角三角形,∵
,
,∴
. ∵
、
分别是
、 的中点,∴ 为 的中点,∴ .
2.延长梯形的两腰,使它们交于一点,可得到两个相似三角形或等腰三角形、直
角三角形等进一步解决问题．
【例3】分析：条件是两个梯形的面积相等,而结论是三线段长的平方关系,如果延长两腰交于一点,就可得到三个相似的三角形,再利用相似三角形的面积比与相似比的关系变形就可得出结论． 证明：延长
、
使它们相交于
点∵
,
∴ ∴
. 同理,
∵ 故得 ∴
3.从梯形上底的两端向下底引垂线作高,可以得到一个矩形和两个直角三角形．然后利用构造的直角三角形和矩形解决问题． 【例4】.分析:过上底向下底作两高,构造Rt△,然后利用两三角形全等解决问题.证明：分别过D、C、作AB的垂线,垂足分别为E、F.∵∴
≌
, ∴ .∴
. 又
,
4.平移一条对角线一般是过上底的一个端点作一条对角线的平行线,与另一底的延长线相交,得到一个平行四边形和三角形,把梯形问题转化为平行四边形和三角形问题解决．【例5】．分析：由梯形中位线性质得
,欲
证 ,只要证
、
和
．过 点作 ,交 的延长
线于 ,就可以把单多了． 证明：过 点作四边形
移到三角形 中,再证明等式成立就简
交 的延长线于点
,
,则
是平行四边形．∴
∵ 四边形
又∵
是等腰梯形,∴
,∴
,∴ ,∴
,
∴
. ∵ ,∴
又∵ ,∴ .
【例6】.证明：过D作边形.∴∴
.∴ 于是,可得
,交BA延长线于E.则四边形
又
∴
,
是平行四
∴梯形ABCD是等腰梯形.
5.遇到梯形一腰中点的问题可以作出梯形的中位线,中位线与上、下底都平行,且三线段有数量关系. 或利用“等积变形”,连结梯形上底一端点和另一腰中点,并延长与下底延长线交于一点,构成三角形解决问题． 【例7】证明：取
,∴
的中点F,连结FE.则
. ∴
.
∵
6.当遇到以上的梯形辅助线添加后不能解决问题时,可以特题
特解,结合具体问题中的具体条件,寻求特殊的方法解决问题.比如可将对角线绕中点旋转
、利用一腰中点旋转
,交
、将梯形补成平行四边形或三角形问 于E.则
又N是AC的中点, ∴
题.【例9】证明：连结并延长
.∴
, 故
取一腰的中点,连结顶点和这个中点并延长与对边的延长线相交,可得两个全等三角形． 【例10】分析：要证明的延长线交于
,
、 ,
,可以利用,得到
交于点
为
中点,延长
与
,再证明 F,显然
即可．证明：延长
．∴
. 又∵
, ,∴ ,∴
, ∴ .
是线段
, ∴
的垂直平分线．∴
评注：添加辅助线后,沟通了得出
、 与 的联系,由线段垂直平分线性质
,从而问题获得解决．
利用一腰中点旋转
【例11】证明：延长AE、BC相交于点F.易证∵
,∴
底边上的高.∴
.
即
∴
.∴BE是等腰
,
说明：在图5中,在图6中,
相当于由 是由
绕点E旋转
得到.
得到；
绕点E旋转
【例12】.分析： 与梯形ABCD的面积关系不明显,如果利用梯形助特点
把它补成如图7的平行四边形,它们之间的关系就清晰了．梯形补成平行四边形,各种关系明显、直观,解题思路清晰． 证明：延长
,使
,延长
,使
为
；则 的中点,连结
,
,则四边形
与
交于点
.连结
是平行四边形． 、
,则
.
∵ , 是 中点,∴ 为 中点且是 中点．
∴四边形
是平行四边形,∴ ,∴