初中数学总复习教案
第一章 实数
一、重要概念
1．数的分类及概念
整数
(有限或无限循环小数) 分数
正无理数 负无理数
正整数0
负整数 正分数 负分数
实数
正实数 0 负数 有理数
实数
无理数(无限不循环小数)
说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏）2）有标准2．非负数：正实数与零的统称。（表为：x≥0）
2a (a为一切实数)
常见的非负数有： │ a│
a(a≥0)
性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。
3．倒数：①定义:如果两个数的乘积为1.那么这两个数互为倒数.②性质：A.a≠1/a（a≠±1）;B.1/a中，a≠0;C.0＜a＜1时1/a＞1;a＞1时，1/a＜1;D.积为1。
4．相反数： ①定义:如果两个数的和为0.那么这两个数互为相反数.②求相反数的公式: a的相反数为-a. ③性质：A.a≠0时，a≠-a;B.a与-a在数轴上的位置关于原点对称;C.两个相反数的和为0,商为-1。 5．数轴：①定义（“三要素”）:具有原点、正方向、单位长度的直线叫数轴.②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.所有的有理数可以在数轴上表示出来，所有的无理数如2都可以在数轴上表示出来，故数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，数轴上的点与实数是一一对应关系。 6．奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数）定义及表示：奇数：2n-1偶数：2n（n为自然数）
7．绝对值：①代数定义：正数的绝对值是它的本身，0的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数。
a(a≥0) │a│= -a(a<0)
几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。
11．科学记数法：N=a?10（1≤a＜10，n是整数）。（1）当N是大于1的数时，n＝N的整数位数减去1。
n?3.24156?10如：3241.56.(2) 当N是小于1的数时，n＝N的第一个有效数字前0的个数.
如:0.0000324156?3.24156?10
12 有效数字：从左边第一个不是0的数字起到右边的所有数字止，所有的数字叫这个数的有效数字。如：0.004015,有效数字是4,0,1,5.一共四个.又如:0.00401500,有效数字是4,0,1,5,0,0,一共六个.
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第二章 代数式
一 重要概念 分类： 单项式
整式 多项式 有理式 分代数式 无理式
1.代数式、有理式、无理式
用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。 有根号的代数式叫无理式，如：a、a2?b2。没有根号的代数式叫有理式。如：a、a?b。整式
22和分式统称为有理式。
2.整式和分式
分母中含有字母的代数式叫做分式。如：
1b、。 a3a分母中不含有字母的代数式叫做整式。
整式和分式统称有理式，或含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。 3.单项式与多项式
2数字和字母之间，字母和字母之间只有乘除运算的代数式叫单项式。如：3abc，abc。单独的一
132个数或字母也是单项式。如：a、0、-3。
几个单项式的和或差，叫做多项式。
说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时，是从外形来看。如，
x2 =x,x2=│x│等。
x4.系数与指数
区别与联系：①从位置上看;②从表示的意义上看 5.同类项及其合并
条件：①字母相同;②相同字母的指数相同 合并依据：乘法分配律 6.根式
表示方根的代数式叫做根式。
含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。
注意：①从外形上判断;②区别：3、7是根式，但不是无理式，是无理数。
7.各种方根的概念
（1） 平方根:如果一个数的平方等于另一个数,那么这个数叫另一个数的平方根.即:?2?a,?叫a的平方根 记作 ???a （2）算术平方根：一个正数的平方等于另一个数，这个正数叫另个一数的算术平方根。a的算术根记作：a 第 2 页 2
正数a的正的平方根（a[a≥0—与“平方根”的区别]）;
算术平方根与绝对值，联系：都是非负数，a2=│a│区别：│a│中，a为一切实数;a中，a为非负数。
（3）立方根：一个数的立方等于另一个数，这个数叫另个一数的立方根。如：
?3?a,?叫a的立方根 记作 ??3a 8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化
化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
满足条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式;②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。 把分母中的根号划去叫做分母有理化。 9.指数 a·a…a=an
nn个 (a—幂，乘方运算) ⑴
nnn① a＞0时，a＞0;②a＜0时，a＞0（n是偶数），a＜0（n是奇数） ⑵ 零指数公式：a=1（a≠0）负整指数公式： a0?p?1(a?0,p是正整数) pa二、运算定律、性质、法则
1．分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则2．分式的性质 ⑴基本性质：
bbmb?bb?=（m≠0）⑵符号法则：??⑶繁分式：①定义;②化简方法（两种）
aamaa?a3．整式运算法则（去括号、添括号法则）
4．幂的运算性质：
①同底数幂相乘：a2a=annnm
nm?n;②同底数幂相除：a÷a=amnm?n;③幂的乘方：(am)n=amn;④
b?papanan积的乘方：(ab)=ab;⑤分式乘方：()?n（注意：凡是公式都可以倒用）技巧：()?()
abbb5．乘法法则：⑴单3单;⑵单3多;⑶多3多。
6．乘法公式：(a?b)2?a2?2ab?b2（a+b）（a-b）=a?b
22 (a±b)(a?ab?b)=a?b （注意：凡是公式都可以倒用）
33227．除法法则：⑴单÷单;⑵多÷单。 8．因式分解：⑴定义;⑵方法：A.提公因式法;B.公式法;C.十字相乘法;D.分组分解法;E.求根公式法。 9．算术根的性质：
a2＝a;(a)2?a(a?0);ab?a?b(a≥0,b≥0);
aa(a≥0,b＞0)（注意：凡是公?bb式都可以倒用）
10．根式运算法则：⑴加法法则（合并同类二次根式）;⑵乘、除法法则;⑶分母有理化：A.
1a;B.
bab1;C.. ?aama?nb 第 3 页
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第三章 方程（组）
一、基本概念
1．方程、方程的解（根）、方程组的解、解方程（组） 2、分类：
一次方程
整式方程 二次方程
高次方程 有理方程
方程 分式方程
无理方程
一、解方程的依据—等式性质
1．a=b←→a+c=b+c
2．a=b←→ac=bc (c≠0) 二、解法
1．一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→ 系数化成1→解。
2． 二元一次方程组的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法 ②加减法
三、一元二次方程
1．定义及一般形式：ax2?bx?c?0(a?0) 如何将一个方程化为一元二次方程的一般形式? 答:去分母→去括号→移项→合并同类项→降幂排列. 2．解法：⑴配方法（注意步骤和推导求根公式）
(2)公式法：x1,2?b?b2?4ac2?(b?4ac?0)
2a(3)因式分解法（特征：左边=0）
说明：用配方法和公式法，都要先将方程化为标准形式才行。对于不规则的方程首先要化
成一元二次方程的标准形式。
3．根的判别式：??b?4ac
2当??b?4ac＞0时,一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)有两个不相等的实数根.反之亦然. 2当??b?4ac=0时,一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)有两个相等的实数根. 反之亦然. 2当??b?4ac＜0时,一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)没有的实数根. 反之亦然.
22224．根与系数顶的关系：x1?x2??bc,x1?x2? aa2逆定理：若x1?x2?m,x1?x2?n，则以x1,x2为根的一元二次方程是：x?mx?n?0。 5．常用等式：x1?x2?(x1?x2)?2x1x2
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(x1?x2)2?(x1?x2)2?4x1x2 四、分式方程
1．分式方程
⑴定义：分母中含未知数的方程，叫分式方程。如：
121?? 2xx?32
⑵基本思想： 分式方程 去分母 整式方程
如何将分式方程化为整式方程？答：去分母→去括号→移项→合并同类项→降幂排列.
⑶基本解法：①去分母法②换元法（如，
3x?62x?2??7） x?1x?2⑷验根：将求出的未知数的值代入公分母，若分母不为0则是原方程的根，否则，是原方程的增根。
（5）解分式方程的步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→降幂排列→求出未知数的值→检验 六、无理方程 ⑴定义
乘方 ⑵基本思想： 无理方程 有理方程 ⑶基本解法：①乘方法（注意技巧！！）②换元法（例，2x2?9?17?x2）⑷验根及方法 七 列方程（组）解应用题 ㈠概述
列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是：
⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。 ⑵设元（未知数）。①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。
⑶用含未知数的代数式表示相关的量。
⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。
⑸解方程及检验。 ⑹答案。
综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。
㈡常用的相等关系
1． 行程问题（匀速运动） 基本关系：s=vt
C A B ⑴相遇问题(同时出发)： 相遇处 ←乙 甲→
s甲+s乙=sAB;t甲?t乙
⑵追及问题（同时出发）：
A 甲→
B （相遇处） 乙→ C 第 5 页 5