其实，只要反过来想一想，就会有更加简单的方法了：
考虑“产生冠军一名”的反面是“淘汰199名选手”。因为每淘汰1名选手需比赛1场，所以，要淘汰199名选手，共应进行比赛199场。
【例 2】1至100的自然数中，不能被9整除的自然数的和是多少？
【分析与解】由于所有不能被9整除的数排列起来，没有什么规律，所以要求它们的和也就没什么简便方法了。但是，当我们考虑问题的反面（1～100中能被9整除的数的和）时，就可以从1～100这100个数的和中，减去能被9整除的数的和。
1+2+3+……+99+100=5050 9+18+27+……+90+99 =9×（1+2+3+……+10+11） = 9×66 =594
所以，要求的那些不能被9整除的数的和是： 5050-594=4456
【例3】有一个正方体，每个面上分别写着数字1、2、3、4、5、6。有三个人分别从不同角度观察的结果分别如图8-1（a）、图8-1（b）、图8-1（c）。问这个正方体中，与“1”、“2”、“3”相对的面上分别是什么数字？
【分析与解】我们可以考虑“1的对面是什么数字”这个问题的反面—— “ 1的对面不是什么数字？” 从图8-1（a）可以看出：
1的对面不是6，也不是4； ① 从图8-1（b）可以看出：
1的对面不是2，也不是3。 ②
比较①、②这两个结果，可以肯定：1的对面是5。（这个结果又是一个条件，2、3、4、6的对面都不可能是1和5。） 再看“3的对面不是什么数字？” 从图8-1（b）可以看出：
3的对面不是1，也不是2； ③ 从图8-1（c）可以看出：
3的对面不是4，也不是5。 ④
比较③、④这两个结果，可知：3的对面是6。 现在只剩下2和4，它们一定是相对的两个面。
从以上几个例子中，我们可以体会到：“反过来想”对于解一些看上去很麻烦的题目，有意想不到的效果。不过，用这种方法解题，首先要弄清“问题的反面是什么”，“问题的反面”解决了，“问题”是不是就解决了。
【分析与解】对于第（1）题，问题的反面可看作“它们与1相比，差哪个大？”，
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“差”大的分数较小，“差”小的分数较大。
这就像两个人带同样多的钱上街买东西，如果想知道谁花掉的钱多，只要比较一下谁剩下的钱少就可以了。
对于第（2）题，问题的反面是“比较它们的倒数，倒数大的分数较小，倒数小的分数较大”。
【例5】设1、3、9、27、81、243是六个给定的数，从这六个数中每次取一个或者几个不同的数求和（每一个数每次只能取一次），可以得到一个新数，这样共得到63个新数。如果把它们从小到大依次排列起来是：1，3，4，9，10，12，……
那么，第60个数是多少？
【分析与解】“从左向右，第63个数”的反面是“从右向左，第4个数”。这样，我们只要找出这63个数中第4个的那个数就行了。
根据条件，从给定的六个数中每次取1个或者几个不同的数求和，可以得到（1+2+3+4+5+6）×6÷2=63个新数，从小到大排列的第60个新数，也就是从大到小排列的第4个新数。在63个和数中，最大的是364（1+3+9+27+81+243），接下来，依次是363（3+9+27+81+243）、361（1+9+27+81+243）、360（9+27+81+243）。所以，第60个新数是360。
【例6】某小学40名同学参加数学竞赛，用15分制记分（分数为0、1、2、……15）。经统计，全班总分为209分，而且相同分数的学生不超过5人，那么，得分超过12分的学生至多只有9人。试说明这是为什么。
【分析与解】假设“得分超过12分的学生至少有10人”（“得分超过12分的学生至多只有9人”的反面）是对的，那么全班总分至少有：5个13分，5个14分，5个0分，5个1分，5个2分，5个3分，5个4分，5个5分，合计得（0+1+2+3+4+5+13+14）×5=210（分），它大于209分，与条件矛盾。所以，一开始的“假设”错误，假设的反面（“得分超过12分的学生至多只有9人”）是正确的。
例6的“分析与解”中这种从反面考虑问题的方法，也叫做“反证法”。 【思考题】
1.比较下面两个分数的大小：
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2.一个迷宫（如图8-2）入口在A，中心在B。怎样从A到中心处B？
[提示：想“怎样从中心处B走到A？”] 3.有一个4行6列，共（4×6=）24个方格的木箱（如图8-3），每个方格可放置一瓶牛奶。现在要把有18瓶牛奶分放进去，但要求每行、每列摆放的牛奶瓶的个数都是偶数，这件事能办到吗？
[提示：由“24-18=6”可知，有6个空格不放牛奶瓶，其余18个空格分放18瓶牛奶瓶。因为图8-3是4行、6列，4和6都是偶数，由“偶数-偶数=偶数” 可知，如果每行每列不放牛奶瓶的空格数都是偶数，那么每行每列放了牛奶瓶的个数一定也是偶数了。注意：0也是偶数。
这样就将问题转化为它的反面——从图8-3的24个空格中选出6个空格。分别打上符号“×”（表示不放牛奶瓶），使每行每列“×”的个数都是偶数。这件事是容易办到的，并且放置的方法很多。]
有1993个孩子，每人胸前有一个号码，号码从1到1993各不相同。问：能不能将这些孩子排成若干排，使每排中都有一个孩子的号码数，等于他这一排其余孩子号码数的和？说明理由。[提示：用“反证法”解。假如可以按要求排成，那么每排中各号码的和一定是号码数最大的那个孩子的号码数的2倍。这样所有孩子的号码数一定是若干个偶数相加，仍是偶数。但是1～1993这1993个数的和是
（1+1993）×1993÷2=997×1993 它是一个奇数。矛盾。]
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9 分析因果关系
任何一件事都有前因后果，分析事物的因果关系，才能作出正确的判断和推理。公安机关的刑警从一点蛛丝马迹中，往往能找到搜捕罪犯的线索。这里的蛛丝马迹只是结果，刑警们更感兴趣的问题是：罪犯为什么留下这样的蛛丝马迹？这就是分析，也就是抓住结果找原因。我们解数学题，也应当学会这种顺藤摸瓜，分析因果关系的本领。
【例1】用一个杯子向一个空瓶里倒水。如果倒进3杯水，连瓶共重440克。如果倒进5杯水，连瓶共重600克。想一想：一杯水和一个空瓶各重多少？ 【分析与解】我们先把两次倒水的情况作一次比较。从连瓶重量来看，第二次比第一次重了“600-440=160（克）”，怎么会多160克的呢？因为第二次比第一次多倒了“5-3=2（杯）”水。这样，我们就容易求出每杯水的重量为：160÷2=80（克）。求得一杯水的重量后，空瓶重量就不难求了。
这个例子虽然简单，但从上面的分析过程中我们可以归纳出这类应用题的一般思路：（1）先比较两种情形，从数量上看出差别；（2）分析造成这种数量差别的原因；（3）利用这种因果关系来沟通题目中已知量与未知量的关系，并求出正确答案。
【例2】兴旺养猪场，如果每间猪圈养猪8头，就还有4头猪没有猪圈养；如果每间猪圈养猪10头，将空出2间猪圈。问这个养猪场有多少间猪圈？共养了多少头猪？
【分析与解】我们把题中“如果??就??”与“如果??将??”这两个已知条件进行对比，可以发现，照第二种安排一共可比第一种安排多养猪10×2+4=24（头）。为什么可以多养猪24头的呢？原因是第二种安排比第一种安排每间猪圈多养猪10-8=2（头）。弄清了这个因果关系，就容易求出猪圈间数和一共养多少头猪了。 （10×2+4）÷（10-8）=12（间） 8×12+4=100（头） 或 10×12-10×2=100（头）
【例3】红星机械厂十一月份计划生产一批机器，实际每天比计划多生产80台，结果25天就完成了全月计划。这个厂十一月份计划生产多少台机器？
【分析与解】这道整数应用题，我们无论是从条件想起，还是从问题想起，都不容易找到解决问题的办法。如果抓住题目中的“25天完成全月计划”这一条件深入思考：这个厂为什么用25天就完成了全月的生产任务？这最后5天的生产任务为什么能提前完成？问题就能很快地得到解决了。
因为实际每天比原计划多生产80台，这样生产了25天，就比计划25天多生产了： 80×25=2000（台）
就把原来计划在后5天的生产任务给提前完成了。换句话说，这2000台机器就是原计划后5天的生产任务。那么，原计划每天生产的台数应为： 2000÷5=400（台）
原计划十一月份的生产任务应为： 400×30=12000（台）
【例4】一个化肥厂计划在50天内生产一批化肥，从前24天的生产情况看，每天实际生产的化肥没有达到原计划每天产量指标，因此工厂决定停产3天进行
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整顿。整顿之后，每天比整顿前多生产化肥25吨，结果只用了49天（包括停产整顿所用的3天时间）就完成了原计划50天的生产任务。已知整顿后比整顿前一共多生产化肥400吨，问整顿前后各生产化肥多少吨？
【分析与解】我们容易算出整顿后生产的天数是：49-24-3=22（天）。由于整顿后每天比整顿前多生产化肥25吨，所以，一共多生产化肥22×25=550（吨）。可题目中却说整顿后比整顿前一共多生产化肥400吨，这岂不是“自相矛盾”吗？ 究竟“矛盾”出在哪里呢？ 原来，我们刚才算出的“550吨”是整顿后22天比整顿前22天多生产的化肥；而题目中告诉我们的“400吨”是整顿后22天比整顿前24天多生产的化肥。这完全是两码事，所以“550吨”与“400吨”并不矛盾。
从上面的比较中，我们看出：“550吨”与“400吨”的差150吨正好是整顿前2天的产量，因此，整顿前每天生产化肥150÷2=75（吨）。从而，75×24=1800（吨）就是整顿前产的化肥；1800+400=2200（吨）就是整顿后产的化肥。
【例5】有一批砖，每块砖的长边比宽边长7厘米。如果把这些砖都横着接连铺下去（如图9-1），可铺540厘米长；如果横竖相间接铺（如图9-2），可铺386厘米长；如果“两横一竖”接铺（如图9-3），可铺多长？
【分析与解】通过比较，我们发现图9-2的铺法比图9-1的铺法的总长要短540-386=154（厘米）。这个总长度的差是怎么来的呢？这是因为从图9-1到图9-2，每两块砖（一组）中有一块由横铺变为竖铺了，因而，每两块砖就要使长度短一个“长边与宽边的差”，这个差就是题中已知的“7厘米”。现在，我们会想到这样解：
（540-386）÷7=22（组），22×2=44（块）
按照我们刚才的思路，这批砖头应有44块，我们接着就可以算每块砖的长度（或长与宽的和）了，列式为： 540÷44=12……12 ① 或 386÷22=17……12 ②
糟了！怎么出现有余数了？根据题意，都是用整砖铺的，不应该出现余数，这到底是怎么回事呢？
仔细比较一下①式与②式。我们又会发现它们余数相同。这是偶然的巧合呢，还是说明我们在算这批砖总块数时考虑得不周密呢？把①式改写成：540=12×44+12也就是： 540=12×（44+1）③
由③式中的“44+1”，我们怀疑：总块数是不是少算了一块？可能，我们只考虑到这批砖是偶数块。如果是奇数，两个两个地分组一定要多1块。这就是①式②式余数相同的原因，实际上，②式可改写成：
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